构建几何模型秒杀中点问题

李英豪

线段中点是几何图形中的一个重要且特殊的点，是构成一些常见几何模型的核心要素. 下面就与中点用法相关的四个常见几何模型展开说明.

一、模型简介

模型1：中点 + 等腰模型

模型特征：如图1，△ABC中，AB = AC，点D为BC边的中点.

联想方向：等腰三角形“三线合一”

例1 如图2，在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，M为BC的中点，MN⊥AC，垂足为N. 求MN的长.

解析：根据模型1可以得出∠AMC = 90°，再根據勾股定理求出AM，最后利用等积法MN·AC = AM·CM求解即可.

模型2：中点 + 直角模型

模型特征：如图3，△ABC中，∠ACB = 90°，点D为AB边的中点.

联想方向：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

例2 如图4，在△ABC中，∠ACB = 90°，点E为AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE，CE，若∠B = 2∠D，AB = 4. 求CD的长.

解析：根据模型2可以得出CE = BE，从而得出∠B = ∠ECB，进而得出∠D = ∠DEC，得CD = CE.

模型3：中点 + 中点模型

模型特征：如图5，△ABC中，点D，E分别为AB，AC边的中点.

联想方向：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.

例3 如图6，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC边的中点，CD与BE相交于点H，点F，G分别为BH，CH的中点，连接DF，EG，AH. 求证：DF = GE.

解析：根据模型3可以得出DF = [12]AH，EG = [12]AH.

模型4：中点 + 平行模型

模型特征：如图7，AD与BC相交于点O，且O为BC的中点，AB∥CD.

联想方向：△ABO≌△DCO.

例4 如图8，AD为△ABC的高，且AD = BD，在AD上截取DG，使DG = DC，F为BC的中点，点E为FG延长线上一点，且EC = AC. 求证：∠E = ∠BGF.

解析：如图8，根据模型4，过点C作CH[⫽]BG，交GF的延长线于点H，从而得出△BFG≌△CFH，将∠BGF转换为∠H，BG转换成CH，通过△BDG≌△ADC将BG转换为AC，再结合已知条件AC = EC可以得出CH = CE，进而证出∠E = ∠H，最后等量代换得出∠E = ∠BGF.

二、模型构建

例5 如图9，AD为△ABC的中线，点E为线段AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，求证：FC = 2AF.

解析：添加辅助线，构建中点模型示例如下：

方法一：如图10，取BF中点G，连接DG. 内含“中点 + 中点”和“中点 + 平行”模型.

方法二：如图11，过C作CG[⫽]BE，交AD的延长线于G. 内含“中点 + 平行”模型和“A”型相似模型.

方法三：如图12，过A作AG[⫽]BC，交BF的延长线于G. 内含“中点 + 平行”模型和“X”型相似模型.

[A][F][C][B][D][E][图10] [G] [A][F][C][B][D][E][图11] [G] [A][F][C][B][D][E][图12][G]

方法四：如图13，取CD中点G，连接EG. 内含“中点 + 中点”模型和“A”型相似模型.

方法五：如图14，取FC中点G，连接DG. 内含“中点 + 中点”模型和“A”型相似模型.

方法六：如图15，取BD中点G，连接GE并延长交AC于H. 内含“中点 + 中点”模型和“A”型相似模型.

例6 如图16，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中AC = BC，AD = AE，∠ACB = ∠DAE  = 90°，点D在边AB上，点F是BD的中点，连接BE，CF. 求证：BE = 2CF

解析：添加辅助线，构建中点模型示例如下：

方法一：如图17，取BE中点G，AB中点H，连接CH，HG. 内含“中点 + 中点”、“中点 + 等腰”和“中点 + 直角”模型.

方法二：如图18，取DE中点N，AD中点G，AB中点H，连接CH，GN，FN. 内含“中点 + 中点”、“中点 + 等腰”和“中点 + 直角”模型.

方法三：如图19，取AB中点G，连接CG. 内含“中点 + 等腰”和“中点 + 直角”模型.

三、模型应用

例7 如图20，在等腰三角形ABC中，BC = AC，∠ACB = 90°，在等腰三角形ABD中，AB = BD，∠ABD = 30°，E为AD边的中点，连接CE，求证：CE = [12]AB.

方法解析：考虑到BC = AC，如果取AB的中点F，连接EF，CF，这样就可以同时出现“中点 + 等腰”、“中点 + 直角”和“中点 + 中点”三个模型，一个中点F将题中众多的已知条件联系在了一起. 根据“中点 + 中点”模型可得EF = [12]BD = [12]AB，EF[⫽]BD. 根据“中点 + 等腰”模型可得∠AFC = 90°，结合∠ABD = 30°的条件可得∠EFC = 60°. 根据“中点 + 直角”模型可得CF = [12]AB = EF，从而得出△CFE为等边三角形即可证出CE = CF = [12]AB.

（作者单位：辽宁省葫芦岛市教师进修学院附属中学）