角平分线的用法

高冬

角平分线的用法是初中数学命题的重点，下面为同学们介绍角平分线在代数与几何综合题中的四种基本用法.

例题呈现

例1 如图1，直线AB交x轴、y轴于点A（0，6），B（8，0），点P是x轴上一点，连接AP，当AP平分∠OAB时，求点P的坐标.

答案：（3，0）

破解策略

1. 分析法：从已知的角平分线入手，构建角平分线的辅助线模型.

2. 综合法：将求点P坐标转化为求线段OP的长.

3. 此类题的两种基本方法：（1）设点坐标，列方程求解;（2）“交轨法”，即先求出该点所满足的隐含直线的解析式，再利用所求解析式与已知点所在的直线（或其他曲线）联立方程组求解.

4. 数学思想方法：转化思想、数形结合思想、方程思想.

5. 角平分线的四种基本模型：

模型一：角平分线+平行线，一般要找等腰边.

如图2，OC平分∠AOB，点D在OC上，DE[⫽]OB，交OA于点E，则△ODE是等腰三角形.

模型二：角平分线是垂线，全等、等腰都出现.

如图3，OC平分∠AOB，点D在OC上，EF过点D垂直于OC，交OA和OB于点E，F，则△ODE≌△ODF，OE = OF.

模型三：角平分线两边作垂线，性质、全等都出现.

如图4，OC平分∠AOB，点D在OC上，DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，则△ODE≌△ODF，DE = DF.

模型四：角平分线两边截线等，对称全等转角边.

如图5，OC平分∠AOB，点D在OC上，点E，F分别在OA和OB上，OE = OF，则△ODE≌△ODF.

例题解析

方法1：角平分线两边作垂线，性质、全等都出现.

结合∠AOP = 90°，AP平分∠OAB，构建“角平分线两边作垂线”的模型，如图6，作PF⊥AB于点F.  设OP = m，列方程求解.

方法2：角平分线两边截线等，对称全等转角边.

结合AP平分∠OAB、AB可求，根据“角边角”构建“角平分线两边截线等”模型.  如图7，在y轴的负半轴取点F，使AF = AB，连接PF. 设OP = m，列方程求解.

方法3：角平分线+平行线，一般要找等腰边.

由角平分线联想平行线，构建等腰三角形，如图8，作BE∥y軸，交AP的延长线于点E，利用“交轨法”求坐标.

方法4：角平分线是垂线，全等、等腰都出现.

作AP的垂线，构建“角平分线是垂线”模型，如图9，作BF⊥AP于点E，交y轴于点F，然后利用三角函数或相似求解.

例题变式

变式1：二倍角问题，挖掘隐含角平分线，构建角平分线模型解决问题.

例2 如图10，直线AB交x轴、y轴于点A（0，6），B（8，0），点P是x轴上一点，连接AP，当∠OAB = 2∠OAP时，求点P的坐标.

破解策略：1. 动点问题，以静制动，分类讨论，画出满足题意的图形;2. 遵循“从特殊到一般”的原则，先求特殊情况的解，再根据题中特殊与一般的位置关系求其他解.

解法提示：如图11，符合题意的点P有两个，分别位于原点的两侧，当点P在原点右侧时，∵∠OAB = 2∠OAP1，∴AP1平分∠OAB，同上题一样，我们能够轻松求出点P1的坐标为（3，0）.

当点P在原点左侧时，∵∠OAB = 2∠OAP2，∠OAB = 2∠OAP1，∴∠OAP1 = ∠OAP2，即AO平分∠P1AP2，∵AO⊥x轴，∴根据“角平分线是垂线”的模型容易得到△OAP1≌△OAP2，∴OP1 = OP2，∴P2的坐标为（-3，0）.

所以点P的坐标为（3，0）或（-3，0）.

变式2：折叠问题，挖掘隐含角平分线，构建角平分线模型解决问题.

例3 如图12，直线AB交x轴、y轴于点A（0，6），B（8，0），点P是射线BO上一点，连接AP，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点C落在y轴上时，求点P的坐标.

破解策略：1. 以静制动，分类讨论画图形;2. 数形结合，列方程.

解法提示：点C既可以落在y轴的负半轴，也可以落在y轴的正半轴. 如图13，当点C落在y轴的负半轴时，由折叠可知，AP平分∠OAB，同上题一样，可得点P坐标为（3，0）.

如图14，当点C落在y轴的正半轴时，显然PA平分∠BPC，根据折叠或“角平分线两边截线等”模型，易得OC = OA + AB = 16，设OP = m，则PC = PB = m + 8，

在Rt△OPC中，根据勾股定理得，m2 + 162 = （m + 8）2，m = 12，∴点P的坐标为（-12，0），

综上所述，点P的坐标为（3，0）或（-12，0）.

能力提升

如图15，抛物线y = [14]x2 + bx + c交x轴于点A和点B，其中点A坐标为（-2，0），与y轴交于点C（0，-2），P是抛物线上一点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若D是OA的中点，当∠PCD = ∠OCD时，求点P的坐标.

（作者单位：辽宁省兴城市第三初级中学）