巧用求根公式解几何题

胡锦秀

一元二次方程的求根公式是代数中的一个重要公式，巧妙运用该公式可解一些平面几何题. 现举四例，供同学们参考.

例1 如图1，已知锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D，AD = BC，H为△ABC的垂心，P为线段BC的中点. 求证：[PH+HD=12BC.]

证明：如图1，连接BH并延长交AC于E.

由题意得[∠BDH] = [∠AEH] = 90°，∴[∠DBH] = [∠CAD]，∴△[BDH] [∽] △[ADC]，

∴[BDDH=ADDC=BCDC]. ∴[BD]·[DC] = [BC]·[DH].

又∵[BP=PC=12BC，∴12BC+PD12BC-PD=] [BC]·[DH].

整理得[14BC2] - [DH]·[BC-PD2=0].

可将其看作以BC为未知数的一元二次方程，

由求根公式有[BC] = [DH+DH2+PD212]（负值舍去），

∵DH2 + PD2 = PH2，∴[BC=DH+PH12]，

∴[DH+PH=12BC.]

例2 如图2，已知梯形ABCD的面积为S，AD[⫽]BC（AD < BC），AC，BD相交于O，[S△AOB=] [29S]，求[ADBC]的值.

解：[∵AD⫽BC，∴S△DOC=S△AOB=29S.]

设[S△AOD=S1， S△BOC=S2，则S1+S2=59S.]

又∵[S△AOBS2=S1S△DOC]，∴[S1]·[S2=29S2.]

因此[S1，S2]是方程[x2-59S]·[x+29S2=0]的两根.

由求根公式有[x] = [59S±59S2-4×29S22] = [59S±39S2]，∴[x1=49S]，[x2=19S].

[∴S1=19S， S2=49S.∴S1S2=14.]

∴[ADBC=S1S2=12.]

例3 如圖3，已知：△ABC中，[AB=AC， ∠A=36°， BD]是∠ABC的平分线. 求证：[BC=5-12AB].

证明：∵[∠A=36°]，[AB=AC]，∴[∠C=∠ABC=72°].

又∵BD平分∠ABC，∴∠1 = 36°，∠2 = 72°，∴AD = BD = BC，

∴△ABC∽△BCD，[∴BCAC=DCBC]，

即[BC2] = [AC]·[DC] = [AB]（[AB] - [BC]），∴BC2 + BC·AB - AB2 = 0，

可将其看作以BC为未知数的一元二次方程，

利用求根公式得[BC=-1+52AB]（负值舍去）.

例4 如图4，△ABC为☉O的外切三角形，切点为D，E，F，且[AC]·[BC] = 2[AD]·[DB]，求证：△ABC为直角三角形.

证明：由题设易得[AD=AF]，[BD=BE]，[CE=CF]，

∵[AC]·[BC] = [2AD]·[DB]，

∴（[AD+CE]）（[CE+DB]） = [2AD]·[DB].

整理得[CE2] + [AB]·[CE] - [AD]·[DB] = 0.

可将其看作以CE为未知数的一元二次方程，利用求根公式得[CE=-AB+AB2+4AD·DB2]（负值舍去），即CE [=-AB+AB2+2AC·BC2]①.

又∵AB + BC + CA = 2AB + 2CE②，由①②整理可得[BC2+CA2=AB2.]

∴△ABC是直角三角形，且∠C = 90°.

由以上例题可以看出，利用求根公式不仅能够解答与一元二次方程有关的代数问题，也可以巧妙解答几何问题，同学们在学习中要多总结、勤运用.

（作者单位：江苏省泰州中学附属初级中学）