借助“几何画板” 突破函数难点

豆向东

根据“几何画板”制作的数学课件，可以动态演示画函数图像的过程，用函数值随自变量的变化而变化的过程，可以让抽象的函数变得直观形象，有利于学生理解函数的概念、图像和性质。本文就反比例函数和二次函数的部分难点，探讨“几何画板”在函数教学中的应用。

一、利用“几何画板”辅助画函数图像

1.直观感受反比例函数的图像

课前准备：教师在“几何画板”中绘制函数y=[1x]的图像，分别在一、三象限的分支上取点P、Q，追踪点P、Q并生成动画，隐藏函数y=[1x]的图像。

部分学生在初次接触反比例函数图像描点时，因为受正比例函数的图像是一条直线的定式影响，在描点后发现描出的点不在同一直线上而怀疑自己的做法是否正确;还有一部分学生会想是不是和原点连线呢？这部分学生可能和原点连接起来画成放射状的图像，也有些学生会对这一做法提出异议：反比例函数[y=kx（k≠0）]中[x]、[y]的值不为0，图像应该没有（0，0）这一点。那么反比例函数的图像到底是什么樣的呢？这时，教师打开课前制作的“几何画板”课件，先后生成点P、Q的动画，用光滑的曲线绘制出反比例函数的图像，排除学生的错误认知，引导学生直观认识反比例函数的图像是一条“双曲线”。为了让学生更清楚地观察双曲线无限靠近坐标轴的趋势，可以进一步把图形局部放大。

2.数形结合理解二次函数图像

学习“二次函数y=ax2的图像”时，教师先引导学生结合平方的含义得出“二次函数y=ax2中，当x=0时，y有最小值0”的结论，接着提出问题：二次函数y=ax2的图像是不是有最低点（0，0）呢？此时，学生用怀疑的眼光看着教师，想进一步探究的兴趣也因此调动起来。教师趁热打铁，让学生通过列表、描点、连线画出二次函数y=ax2的大致图像，用”几何画板”展示二次函数y=ax2的图像，解除学生的疑惑，增强学生对二次函数图像的感性认识。教师重点引导学生观察图像的“最低点”及向两边延伸的走势，让学生知道图像是一条光滑的曲线;提醒学生注意画二次函数时容易出现的错误，如“最低点”没有画对位置，图像向两边延伸不规范，用直的折线连接描出的点等。

二、利用构造出的函数图像，探究函数的性质

1.动态的演示反比例函数的增减性

不少学生难以理解反比例函数的增减性，极易出现认不清“在y=[1x]中，y随[x]的增大而减小”的知识错误。教师采用以下方法纠正学生的认知偏差：（1）用”几何画板”画出函数y=[1x]的图像，在第一象限的分支上取一点P，并用”几何画板”度量点P的横、纵坐标，从左到右移动点P，让学生观察点P的坐标的变化，得出“在第一象限内，y随x的增大而减小”的结论;再在第三象限的分支上取点Q，用同样的方法得出类似的结论;（2）接着让学生分析点P、Q的横、纵坐标，并思考“在y=[1x]中，y随[x]的增大而减小”是否正确？经过以上两步的演示观察，学生对反比例函数的增减性有较为深刻的认识。

2.探究二次函数y=ax2中a与抛物线的开口方向、开口大小的关系

按照常规方法，取a的不同值，画出不同的抛物线，在分析观察的基础上得出结论。这样做，一是需要不少时间，二是重复画图容易降低学生的学习欲望。用“几何画板”可以快速达到教学目标。课前教师准备课件，用”几何画板”以a为参数画二次函数y=ax2的图像;课堂上，用拖动或生成动画的方式从大到小改变a的值，快速画出不同形状的抛物线，学生边观察边思考：（1）抛物线的开口方向与a的值有什么关系？（2）a=0时，二次函数y=ax2的图像还是抛物线吗？（3）抛物线的开口大小与a的值有什么关系？

3.探究二次函数的性质

部分学生对于二次函数y=[12x2-6x+21]的性质感到迷茫。教师通过“几何画板”化静为动，能给学生带来直观上的感受，给学生以最直接的理性认识，学生的疑惑可以在教师的动态演示下得到解决。过程如下：在引导学生将y=[12x2-6x+21]化成y=[12]（x-6）2+3后出示课件（课件中提前用“几何画板”画出y=[12]（x-6）2 +3的图像，在其上任取一点P，并度量点P的横、纵坐标），从左到右拖动点P，在点P沿抛物线移动的过程中，让学生观察点P坐标的变化，可以发现：（1）图像的最低点是（6，3），当x=6时，y有最小值3;（2）在对称轴左侧即x<6时，y随x的增大而减小，在对称轴右侧即x>6时，y随x的增大而增大。

“几何画板”参与下的函数教学，使学生很容易看到各个变量之间的关系，使函数的图像与性质直观化、形象化。教学中还可以让有一定计算机基础的学生在教师做好的图形上进行探索，增强学生学习的主动性。教师要正确把握演示的时机，让学生参与到函数的图像与性质的探究中来，要在学生充分动手与思考之后给予演示，否则学生会成为观看“电影”的观众，缺少深入的思考，“几何画板”反而会剥夺学生动手与思考的机会，这与教学目标相悖。

（作者单位：襄阳市东津新区世纪城中学）

责任编辑  张敏