或然与必然思想

高慧明

北京市中学数学特级教师，现任教于北京市第十二中学;教育部课程改革“全国先进工作者”，教育部“国培计划”全国中小学教师培训、班主任培训、校长培训特邀主讲专家，受邀为教育部“国培计划”做有关数学课堂教学、班级管理、教师专业成长等专题报告多场;在《教育研究》《中国教育学刊》《数学教育学报》《数学通报》等学术期刊上发表论文500余篇，其中100余篇被中國人民大学复印报刊资料《中学数学教与学》《中小学教育》全文转载;已出版个人专著《高中数学思想方法及应用》《高考数学命题规律与教学策略》《让高中生学会学习》《高慧明数学教学实践与研究》（丛书）等多部，应邀主编、参编教材和教学著作30余部。

世间万物千姿百态、千变万化，人们对世界的了解、对事物的认识是从不同侧面进行的，人们发现的事物或现象可以是确定的，也可以是模糊的、随机的。

概率研究的就是随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后用“必然”的规律去解决“偶然”的问题。这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想，也称统计与概率的思想。

随机事件发生可能性的大小是概率研究的主要内容，而通过试验来观察随机事件发生可能性的大小是研究的常用方法。在相同的条件下，重复进行[n]次试验，某一事件A出现的次数[m]是频数，也就是事件A出现的频数。如果试验的次数不断增加，事件A发生的频数稳定在某个数上，我们就把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。

事件的概率是确定的、不变的常数，是理论上的精确值，而频率是某次具体试验的结果，是不确定的、变化的数，尽管这种变化的可能性非常小。这里的概率是用频率来界定的，在等可能性随机试验中，虽然频率总是在很小的范围内变化，但我们可以认为频率和概率的相关性非常强。也就是说，在一次试验中，事件A出现的频率越大，事件A的概率就越大;事件A出现的频率越小，事件A的概率就越小。反之亦然。

生活中的很多现象都是随机现象，如气候变化、物价变化、体育比赛、汽车流量、彩票中奖等。这些随机事件，如果能够比较准确地预测其发生可能性的大小，就会为我们的工作和生活带来很多方便。事实上，随着科技的发展，人们已经能够对一些随机现象做出比较准确的预测，如气象部门已经能够比较准确地预报天气变化。预测离不开对数据的分析和对事件发生可能性大小的定量刻画，这正是统计与概率（或然与必然思想）研究的主要内容。

或然与必然思想主要应用于统计与概率领域。以小学数学教学为例，小学数学第一、第二学段都安排了可能性的内容，如会求简单的等可能性随机事件发生的可能性、根据等可能性事件设计公平的游戏规则等。统计推断中，人们往往通过分析随机事件的相关数据，对随机事件发生的可能性进行预测。如2010年南非世界杯西班牙对荷兰的决赛，有人预测西班牙夺冠，理由是西班牙是近年的欧洲冠军，实力雄厚;还有人预测荷兰卫冕，理由是荷兰曾两次获得世界杯亚军。用或然与必然的思想来分析，历史上，西班牙队和荷兰队一共交手9次，其中荷兰4胜1平4负，与西班牙队实力不分上下，所以两队夺冠的可能性各占一半。

中学数学中，概率的相关内容也放在了重要位置，如等可能事件的概率、互斥事件发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、[n]次独立重复试验发生了[k]次的概率，以及随机事件的分布列与数学期望等重点内容。教学这些内容时，教师在加强基本概念和基本方法教学的同时，更应注重运用或然与必然的思想。

教学涉及或然与必然思想的相关内容时，应注意以下几点。

第一，随机事件的发生是有条件的。在一定条件下，事件发生的可能性有大有小，条件变了，事件发生的可能性大小也可能会变化。例如，种子的发芽率与很多因素有关，如种子的质量、保存期限、温度、水分、土壤、阳光、空气等。在各种条件都合适的情况下，发芽率可能高达90%;条件不合适，发芽率可能降到50%，甚至不发芽。

第二，不能混淆“频率”与“概率”。如用掷硬币试验去验证概率，从概率的统计定义而言，做抛硬币试验是可以的，因为它可以使学生参与实践活动，经历知识的形成过程，提高学习兴趣。不过，教师心中要明白：试验次数少的时候，频率与概率的误差可能会比较大，可是试验次数多，也不能每次都保证频率与概率相差很小，或者说试验次数足够多的两次试验，也不能保证试验次数多的比试验次数少的误差小。这是随机事件本身的特点决定的，教师要通过通俗的语言使学生清楚这一点，使学生理解概率的统计定义。

第三，创设联系学生生活的情境时，要注意每个基本事件是否具有等可能性。下面的问题就不合适：全班50个学生，选一人代表全班参加科普知识竞赛，张三被选中的可能性是多少？事实上，参加竞赛是有一定条件的，如需要学习好、知识面宽等，每个学生被选中的可能性是不相等的。

第四，概率是理论上的精确值，但是随机事件在某次试验中可能出现意外，即频率与概率会有一定的偏差。随机中有精确，精确中有随机，这是对待概率的一种科学态度。如：连续两次掷一枚硬币，若第一次正面朝上，那么第二次一定是反面朝上吗？从概率的角度分析，每抛一次，硬币正面朝上和反面朝上的可能性都是二分之一，并不会因为第一次正面朝上而影响第二次正面朝上。因此，第二次正面朝上和反面朝上的可能性仍然相等。再如：天气预报预测明天降雨的概率是90%，明天一定会下雨吗？明天是否降雨是一个随机事件，尽管降雨概率高达90%，但可能性大的事件也可能不发生，所以不能说明天一定会下雨。

还看一个例子：从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为：

本题是求随机变量分布列的问题，其中所求概率又是等可能事件的概率问题，所以有：

我们研究离散随机变量时，不仅要关心某一次随机试验中到底取什么值的问题，还要关心随机变量在取某一个值或某一批值时可能性的大小。只有如此，我们才能确切地掌握随机变量的取值规律，解决相应的问题。这就使我们对“或然”与“必然”的研究又深入了一步，即从“分布”与“期望”两个方面获取随机变量的规律，在“或然”中寻找“必然”。

责任编辑  姜楚华