浅谈空间向量的法宝

杜洪宾

空间线面位置关系，空间距离，空间角是立体几何中常见的三类问题，是考查的重点和热点。特别是新教材中引进了空间向量的概念和知识后，拓宽了解答立体几何的思路和方法，给解答立体几何问题注入了新鲜的血液。而法向量作为向量家族中的一个特殊成员，在证明线面平行、垂直，求空间角和空间距离中越来越显示出它的优越性和灵活性。下面结合相关例题就法向量在解立体几何题中的几处妙用与大家共同分享。

一、法向量的定义

所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量。显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量。

二、法向量的求解

求一个平面的法向量的坐标，首先要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，其步骤如下：

1.设平面的法向量=（x，y，z）；

2.找出（求出）平面内的两个不共线的向量=（a1，b1，c1），=（a2，b2，c2）；

3.根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组1·=0，·=0；

4.解方程组，取其中的一个解，即得法向量的坐标。

三、法向量的应用

（一）利用法向量求二面角

设、是二面角α-1-β的两个面α，β的法向量，则两个法向量的夹角就是二面角的平面角或其补角的大小。

例1.如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，求面ASD与BSC所成二面角的大小。

∴两个法向量的夹角为；

故面ASD与BSC所成二面角为。

评析：1.因为所求的二面角的交线在图

中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它的特有的优势；

2.用法向量求解二面角时，将传统求二面角的三步曲“找——证——求”直接简化成了一步曲“计算”。这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的，更加注重对学生计算能力的培养，体现了新课改的精神；

3.向量法在解决二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题。所以，在计算之前先依题意直观判断一下所求的二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或“补角”。

（二）利用法向量求点到平面的距离

评析：证明线面平行通常找线线平行或线面平行，但当线或面不易找时，此类问题就不易证明了。就像此题E点位置不确定如何寻找线或面呢？在这里法向量为我们解决了这个难题，不去找而去算，这正是向量法的优点。同时通过使用向量法，可使学生较牢固地掌握向量代数工具，從而丰富学生的思维结构和运用数学的能力。

当然，法向量的应用并不是一蹴而就的。我们也不能仅仅从教师角度出发为了应用而硬引入法向量。对于任何内容的讲解和应用都应以学生的实际情况为出发点。总之，我们的教学是为学生服务的，一定要从学生的角度出发，符合学生的实际需求。

（责编 赵建荣）