高中数学求离心率e值的解法初探

王晓云

高中数学求离心率e值的解法初探

王晓云

高中常见的离心率问题无非三种。题型一：求离心率的值；题型二：求离心率的取值范围；题型三：与离心率有关的其他问题。本文仅处理第一类问题，下面就通过一些具体题目总结常见的解法。

一、定义法

反思：在标准方程的背景下，椭圆的四个顶点及两个焦点均在坐标轴上，由此与直线的截距具有了对应关系，解题时注意其联系。

二、齐次式法

根据题设条件，建立基本量a、b、c之间的关系式，利用a2=b2+c2（椭圆）c2=a2+b2或（双曲线）转化构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解出离心率e。

例2：设椭圆的两个焦点分别为F1，F2过F3作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_______。

解：在等腰直角三角形中，PF2=F1F2即

∴c2+2ac-a2=0即e2+2e-1=0

例 3：设 F1，F2为椭圆的两个焦点，P 为直线上的一点，若△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则椭圆的离心率是______。

反思：以三角形为依托求圆锥曲线的离心率的值，若在直角三角形中，常常利用两边一角建立三角函数关系式求解。

例4：已知 B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为_____。

解：如图，在Rt△B2OF2中得解得

例 5：已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞c）的两个焦点，过F2作 x轴的垂线交双曲线于点A、B，连接AF1和 BF1，若△ABF1为正三角形，则双曲线的离心率为______。

解：在Rt△AF1F2中

反思：以三角形为依托求圆锥曲线的离心率的值，若三角形具有对称性常常割其半，在直角三角形中求解。

例 6：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为_______。

解：如图，设MF1的中点为P，连接PF2

在Rt△PF1F2中，F1F2=2c，∠PF1F2=60°

反思：以三角形为依托求圆锥曲线的离心率的值，若三角形是焦点三角形，常常利用定义建立基本量a、b、c之间的关系式。

例7：已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，恰好是椭圆=1（a＞b＞c）的右焦点 F，且两条曲线的交点连线也过焦点 F，则椭圆的离心率为_____。

反思：两种曲线同现求离心率e，要注意利用公有量建立方程组，消元得到基本量a、b、c之间的关系式。

在求解圆锥曲线离心率的值时，建立a、c之间的关系式是解题的关键。一定要认真分析题设条件，合理选择解题方法，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论，在做题时不断总结，择优解题。同时要注意运用数形结合思想、方程思想、转化化归等思想在其中的应用。■

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