抛物线知识结构与拓展

■河南省南阳市一中 马东宇

一、知识结构

二、结构分析

抛物线是继椭圆、双曲线之后的第三种圆锥曲线,与前两者不同的是同学们在初中已学过“二次函数的图像是抛物线”,在物理上也研究过抛物线。高中阶段,抛物线在一元二次不等式的解法、求最大(小)值等方面都有重要的作用。但对于这种曲线的本质同学们还不清楚,对二次函数的学习不能代替对整个抛物线体系的研究。本节内容将深入研究抛物线的定义、标准方程及简单性质。从本章来讲,这一节放在椭圆和双曲线之后,一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要,抛物线是离心率e=1的特例;另一方面也是解析几何用“方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。

三、典例分析

题型一 抛物线的标准方程

A.y2=4x或y2=8x

B.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=1 6x

D.y2=2x或y2=8x

解：(方法一)因为以MF为直径的圆过点(0,2),所以点M在第一象限。

因为点N的横坐标恰好等于圆的半径,所以圆与y轴切于点(0,2),从而2=解得p=2或p=8,所以抛物线方程为y2=4x或y2=1 6x。故选C。

(方法二)因为以MF为直径的圆过点(0,2),所以点M在第一象限。

又因为在抛物线中,以焦半径为直径的圆恒与坐标轴相切,由题意知切点为(0,2),则M点的纵坐标为4,将抛物线方程得,即p2-1 0p+1 6=0,解得p=2或p=8。

所以抛物线方程为y2=4x或y2=1 6x。

又因为p＞0,解得p=2或p=8。

所以抛物线方程为y2=4x或y2=1 6x。故选C。

点评:求抛物线标准方程的主要方法是定义法和待定系数法。若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p),那么只需求出p即可;若题目未给出抛物线的方程,先判断焦点位置再设出抛物线标准方程即可。注意本例中直径这一条件的灵活应用。

题型二 抛物线的几何性质

解：不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A。

过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,则PM//O F。由题意知,F(2,0),|F O|=|A O|=2。

由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6。

点评:本例考查抛物线的定义及标准方程,可通过作辅助线,借助三角形中位线的性质、抛物线的定义求解。

题型三 抛物线的综合问题

分析：(1)点A为定点,点B、C为动点,因直线A B、A C的倾斜角互补,所以kAB与kAC互为相反数,故可用“k参数”法,设A B的斜率为k,写出直线A B的方程,将A B的方程与抛物线方程联立,因A为已知交点,则方程有一根已知,故用韦达定理容易解出点B坐标,同理可得点C坐标,然后再求B C斜率。

(2)因点B、C在抛物线上移动,也可用“点参数”法,设B(x1,y1),C(x2,y2),因x1,x2=,即可设B再考虑kAB=-kAC,得参数y1,y2的关系。

图1

解法1：设A B的斜率为k,则A C的斜率为-k,A B:y-2=k(x-4),与y2=x联立得y-2=k(y2-4),即k y2-y-4k+2=0。

因为y=2是此方程的一解,所以2yB=

点评:解法1运算量较大,但其方法是一种基本方法,因k的变化而造成了一系列的变化,最终求出B C的斜率为定值;解法2利用点B,C在抛物线上设点,形成含两个参数y1,y2的问题,用整体思想解题,运算量较小。

四、跟踪练习

1.抛物线的顶点在原点,x轴为对称轴,抛物线上一点R与焦点F的连线的中点为M(-5,4),求抛物线的方程。

解：由题意知,抛物线的焦点一定在x轴的负半轴上,故设其方程为y2=-2p x(p＞0),则设R(x,y),则-5=

00=8。

故抛物线方程为y2=-8x或y2=-3 2x。

(责任编辑 赵 平)