类比思想在立体几何中的应用

■郑州市第十一中学1805班 赵晨思

类比思想在数学中有着重要的应用,下面举例分析它在立体几何中的应用。

图1

截正方形ABCD的一个角得△ABC,由勾股定理知c2=a2+b2。如图1,把正方形换成正方体,截线AC换成截面ABC,得三棱锥V-ABC,设 △VAB,△VBC,△VAC,△ABC面积分别为S1,S2,S3,S,则在棱锥V-ABC中有结论:S2=。

引用例1中的三棱锥V-ABC,VA、VB、VC与平面ABC所成的角分别为α、β、γ,三者有何关系?平面ABC与平面VAB、平面VAC、平面VAB的夹角分别为α1、β1、γ1,三者有何关系?

所以cos2α+cos2β+cos2γ=2。

那么,猜想sin2α1+sin2β1+sin2γ1=2。

证明如下:设△VAB边AB上的高为VD,△VBC边BC上的高为VE,△VAC边AC上的高为VF。所以·AB=得VD2

所 以 sin2α1+sin2β1+sin2γ1=2。

在长方体A1B1C1D1-ABCD中,A1B1=a,B1B=h,B1C1=b,体对角线B1D与从B1点发出的三条棱B1A1,B1B,B1C1的夹角分别为α、β、γ,三者之间有何关系?B1D与平面A1B1C1D1的夹角为α1,B1D与平面B1C1CB的夹角为β1,B1D与平面A1B1BA夹角为γ1,探究α1、β1、γ1的关系。

解析：猜 想 cos2α+cos2β+cos2γ=1,cos2α1+cos2β1+cos2γ1=2。

同理,猜想sin2α1+sin2β1+sin2γ1=1,cos2α1+cos2β1+cos2γ1=2。

通过这三道例题,我们能够深刻体会到类比思想在立体几何中的应用。