一类不等式的证法探究

江西省共青城市第一中学 (332020) 祝志军

山东省邹平双语学校 (256200) 姜坤崇

该不等式是由笔者提供的《数学通报》数学问题2695,本文主要给出不等式①的两个类似不等式,并给出证明.

由4元均值不等式得2a4+b4+c4≥4a2bc,2b4+c4+a4≥4b2ca,2c4+a4+b4≥4c2ab,三式相加且两边约去4得a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab⑥.

又由二元均值不等式得c2a2+a2b2≥2a2bc,a2b2+b2c2≥2b2ca,b2c2+c2a2≥2c2ab,三式相加且两边约去2得a2b2+b2c2+c2a3≥a2bc+b2ca+c2ab⑦.⑤+⑥+⑦×2即得③式,从而②式得证.

证明：由柯西不等式的变形式得

令x=a2+bc-ca,y=b2+ca-ab,z=c2+ab-bc,则xy+yz+zx=ab3+bc3+ca3,于是由不等式④得(a2+b2+c2)2≥3(ab3+bc3+ca3)⑩.

⑥+⑦×2+⑩即得⑨式,从而⑧式得证.