一道自主招生试题的简证及变式

湖南省桃江县第一中学 (413400) 胡芳举

该题是一道自主招生试题形式优美,但证明较难,搜遍全网,只找到了一个解答(这个解答非常繁琐,见文[1]),本文将给出这个不等式的一个简证以及几个变式.

一、简证

要证原不等式,等价于证9∑cosA≤2∑sin2A+9=∑(1-cos2A)+9=12-∑cos2A⟺

二、变式

变式3 设ΔABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R,三边长分别为a,b,c,则∑a2≥18Rr.

注：由正弦定理及变式2可得.

变式4 设ΔABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R,外心与重心的距离为d,则R2-2Rr≥d2.

图1

变式5 已知正实数x,y,z满足x2+y2+z2+2xyz=1,则9(x+y+z)-4xyz≤13.