关于一道向量试题的变式探究

广东省佛山市顺德区容山中学 (528303) 马崇元

平面向量兼具代数与几何的信息,所以在求解时可分别从数与形的角度思考.因为向量的抽象性,学生在面对向量问题时常常无法发现解题的突破口.特别是当向量与其他知识相融合时,该现象更加明显.笔者以一道向量模拟试题为例,研究其解题过程,分析其命制方式,并据此构造出多个变式供读者参考.

一、题目及分析

二、解法呈现

图1

反思：该解法的核心突破口在于研究了点M的轨迹,如何想到研究该点的轨迹则显得较为突兀.为了自然的联想到该结论,其本质在于对三角形中线公式的理解.

现利用该结论研究原问题,可得如下的解法:

图2

三、变式探究

原问题最终都转换为以圆为背景的最值问题,我们可从这一方向,设计出如下的变式供大家练习.

答案：上述两个变式的答案同变式1.

在上述解答中,原问题在于探究AB中点E的轨迹,我们还可考虑通过构造AB的三等点来设计变式.在构造之前,我们先研究一下三等分线的相关公式.

类比上文中变式1-变式4的构造方法,也可将变式5进行相应的改编.在变式5中,笔者构造了三等分点的命题方式,我们也可命制出其他等分点对应的试题.