一道椭圆数量积为定值问题的解法探究及推广

贵州省普定县第一中学 (562100) 姚登美

贵州省六盘水市第二中学 (553401) 张 东

一、试题呈现

图1

(1)求C的方程;

评析:试题改编于数学教材中的一道课后习题,试题以向量为背景设置数学问题情境,引导学生重视教材习题,学会知识迁移;第(1)问考查椭圆的基本概念、基本性质,借助数形结合易求出椭圆C的方程.第(2)问考查圆锥曲线中的定值、定点问题,试题从向量数量积的视角立意命题,聚焦学生对圆锥曲线中的数学思想、解题方法的理解和应用,综合考查了学生逻辑推理、几何直观、数学运算的能力素养.

二、解法探究

评注：向量是集“形”和“数”融为一体的数学运算工具,借助向量运算可以处理许多圆锥曲线问题,上述解法从向量数量积的几何形式和代数形式给出了解答,综合比较上述解法,点乘双根法易于简化运算、探究推广.用多种方法解答同一道数学题,不仅能更牢固地掌握相关知识,还能更灵活地运用所学知识.通过一题多解,分析、比较各种解法,可以找到最佳的解题路径,从而发散学生思维能力,对巩固知识和解题能力大有裨益,是提高数学成绩的一条捷径.

三、结论探究及推广

考虑到直线l过的定点F为椭圆的焦点,定点F具有特殊性,上述解题方法有一定的局限性,这里我们对焦点F一般化,从椭圆方程拓展到圆锥曲线,利用点乘双根法的运算思路,做如下探究推广.

证明：设直线l的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),联立方程组

证法妨探究1,此略.

以上分别从椭圆x轴上的定点、双曲线y轴上的定点和抛物线所在平面内的定点,对向量数量积定值问题进行了一般性探究,我们可得出圆锥曲线中向量数量积定值问题的一般性质.

该性质的证明可类比上述探究过程得到验证.

四、解后反思

数学教育家波利亚说过:“好的问题和某种蘑菇有点相似之处,它们都成串生长,找到一个以后,我们应该四处看看,很有可能在很近的地方又能找到更多的”.在解题教学中,教师要善于为学生创设数学问题情境,让学生学会在数学情境中发现问题、分析问题,而不是为了解题而解题,搞题海战术、大量刷题.在获得问题答案后,我们应引导学生对问题答案类比分析、归纳重组,挖掘数学问题背后隐含的一般性数学规律,更加清晰地看清数学问题的本质.让学生养成多角度、多层次思考问题和解决问题的思维习惯,形成概括归纳、演绎推理、辩证批判的能力素养,学生才能从机械刷题、题海战术中解放出来.