一道三诊试题的多解及推广

四川师范大学数学科学学院 (610068) 纪定春 夏逸天 周思波

不等式是高考数学的重点考察内容．从作差法、判别式法、三元均值不等式法、基本不等式法、柯西不等式法、排序不等式法、几何法、向量法、权方和不等式法、詹森不等式法、球坐标变换法、拉格朗日乘数法等角度，对四川省泸州市三诊的一道不等式试题进行了解法探究，并将该不等式进行了推广．

1.问题与评注

(泸州市高2017级第三次教学质量诊断性考试)已知f(x)=|2x-4|+|x+1|．

2.解法探究

视角1 作差法

视角2 判别式法

视角3 三元均值不等式法

视角4 基本不等式法

视角5 柯西不等式法

视角6 排序不等式法

所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥

视角7 几何法

视角8 向量法

视角9 权方和不等式法

视角10 詹森不等式法

视角11 球坐标变换法

视角12 拉格朗日乘数法

3.问题推广

推广3 设a，b，c∈R，且a+b+c=s，其中n∈Z+，x，y，z为任意的常数，求(a+x)n+(b+y)n+(c+z)n的最小值．

提示：推广2和推广3，解决方法同推广1．

提示：推广5和推广6，解决方法同推广4．

提示：该推广，将项(-1)i引入了第i个项中，求解过程更加复杂．在求解时，需要注意进行分类讨论，此处可以分成四类，然后分别进行讨论，最终求解结果为三大类．

解决过程可参照推广7，注意使用换元法，具体从略．最后，由于推广8、推广9较难，建议不将两个推广纳入高中数学课堂，但可以作为课后自主思考题．上述的推广1-7，可以根据所教学生的实际情况，有选择的纳入课堂．