一道开放性试题的探究与推广

广东省中山纪念中学 (528454) 邓启龙

数学命题一般由“条件”和“结论”两部分组成.正确的命题揭示了“条件”与“结论”之间的必然联系.如果我们把命题中“条件”和“结论”互换身份,就有可能得到一个有意义的逆向命题;把一个数学命题中的某些特殊的条件一般化(比如取消某些条件过强的限制),从而得到更普遍的结论,叫做数学命题的推广.这两种方式都是发现数学新知识的重要途径.

经过探究发现,将c,k一般化,条件∠OMA=∠OMB不变,求出m的值只与c有关.于是得到变式1.

图1(F在圆O内)

变式1如图1，圆O的方程为x2+y2=1,动直线l与圆O交于两点A,B,与x轴交于圆内点F(c,0),其中c为非零常数.点M(m,0)为x轴上一点,若∠OMA=∠OMB恒成立,求m的值.

图2(F在圆O外)

若动直线l与x轴的交点F在圆外,如图2，经过探究发现将条件∠OMA=∠OMB改为∠OMA+∠OMB=180°,有类似的结论.由于∠OMA=∠OMB和∠OMA+∠OMB=180°都有直线MA,MB的斜率之和为0,所以得到以下一般的结论:

变式2设圆O的方程为x2+y2=1,F(c,0),其中c为非零常数,且c≠±1.过点F的动直线l与圆O交于两点A,B,点M(m,0)为x轴上的一点,直线MA,MB的斜率分别为k1,k2.若k1+k2=0恒成立,求m的值.

若将单位圆一般化,改为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,则有类似的结论.

若将试题中的点F,M一般化,不限制点F,M在x轴上,本文经过探究得到以下一般结论:

变式7圆C的半径为r,异于圆心C的点F不在圆C上.

(1)过点F的动直线l与圆C交于两点A,B,若存在点M使得∠CMA=∠FMB恒成立,则点M在射线CF上,且|CF||CM|=r2；

(2)点M在射线CF上,且|CF||CM|=r2,过点F的动直线l与圆C交于两点A,B,则∠CMA=∠FMB.

变式8圆C的半径为r,异于圆心C的点M不在圆C上.

(1)如图3，点M在圆外,直线l与圆C交于两点A,B,若∠CMA=∠CMB,则直线l与直线CM的交点F在射线CM上,且|CF||CM|=r2；

(2)如图4，点M在圆内,直线l与圆C交于两点A,B,若∠CMA+∠CMB=180°,则直线l与直线CM的交点F在射线CM上,且|CF||CM|=r2.

图3

图4

注:点F和点M关于圆C互为反演点.