抛物线定长弦问题的再讨论

江苏省昆山中学 (215300) 季刚祥 吴祖燕

一、问题再现

已知长为2的线段AB的两个端点在抛物线y=x2上滑动，求AB的中点M到x轴的距离的最小值及中点M的坐标.

这是一道典型的抛物线的定长弦问题，下面笔者就这道题的解法及此类问题的一般结论谈点拙见，不当之处，望各位不吝赐教.

二、问题解法

分析1：考虑到线段AB是动态的，而点M到x轴的距离就是它的纵坐标，于是有如下方法.

分析2：考虑到弦长AB为定值，联想到直线的参数方程中参数的几何意义，从而有如下方法.

分析3：以上两种方法都是通过设直线方程来解决的，由于抛物线方程的特殊性，也可以通过设点的方法解决.

分析4：先求出点M的轨迹方程，进而求出点M的纵坐标范围，来确定点M到x轴的距离最小值.由此得下列方法.

三、问题探索

1.抛物线的定长弦的中点轨迹的问题

2.与抛物线的定长弦的中点有关的距离问题