赏析一道含参恒成立问题的多种解法

湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 (430312) 李红春湖北省武汉市教育科学研究院 (430032) 孔 峰

波利亚有一句名言：掌握数学就意味着善于解题.解题是教师数学活动的基本形式和主要内容，也是职业幸福感的源泉.在众多数学问题中，含参恒成立问题一直是高考中的热点和难点，尤其当这类问题与导数结合起来时，解题方法更显得灵活多变，难度不容小觑.数学试题浩如烟海，在有限的时间做很多题，浅尝辄止，一知半解，倒不如以一道典型试题为抓手，从不同的角度进行思考分析，领悟其中的方法与规律，这既能优化思维品质，又有利于加强数学知识和方法之间的内在联系，促进知识网络的有效构建.

题目已知aln(x+1)-2(x+1)-ax+2ex>0对x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.

本题以不等式为载体，结构简洁巧妙，以指数、对数混合形式出现，主要考查利用导数研究函数的的性质，考查学生逻辑思维能力、化归与转化能力、运算求解能力，以及分类讨论、数形结合等思想，是一道难度较大，区分度较高的试题，下面研究其解法.

策略1分类讨论，逐步深入

含参数的问题，往往因为参数的存在，导致函数的性质具有不确定性，这时可通过“分类讨论，逐步深入”的方法，将含糊的问题具体化，让解题得以继续.

(1)当a≤0时，g″(x)>0恒成立，则g′(x)在(0,+∞)递增，则g′(x)>g′(0)=0，故g(x)在(0,+∞)递增，则g(x)>g(0)=0，满足题意；

评析：以上解法有两点值得注意，首先端点处的函数值比较特殊：g(0)=0，g′(0)=0；其次通过“x>0时ex>1+x”这一关系将超越函数g″(x)缩小为有理函数，为g″(x)寻找零点创造了条件.

策略2数形结合，以形助数

数学是研究数量关系与空间形式的科学，华罗庚先生曾感叹道：“数无形时少直观，形无数时难入微，数形结合百般好，割裂分开万事休.”通过挖掘数学式子背后形的特征，以形助数，是解决数学问题中的一种常用方法.

图1

图2

此时，在切点右侧存在一个区域(0,x0)，在该区域随着x的增大，曲线上切线斜率逐渐减小，图像呈现出“上凸”的趋势，在该区间g(x)的图像位于h(x)图像的下方，如图2，显然不符合题意.

综上a≤2.

评析：将原不等式移项重新组合，得到g(x)≥h(x)恒成立，观察出h(x)的图像为函数g(x)在x=0处的切线，从形的角度分析问题，找准解题思路.

策略3分离参数，回避讨论

通过参数与变量的分离，使所得函数不含参数，进而无需分类讨论，从而简化解题.

评析：以上解答过程“巧合”颇多，推动解题不断深入下去的关键其实是“细致的观察”与“大胆的猜想”.如：求导后要判断导函数的符号，即导函数分子m(x)的符号，而m(x)=0，于是猜若m(x)单调，则m′(x)的符号是确定，在简单变形后将问题等价为n(x)的符号判断后，发现n(0)=0，则猜想n(x)是单调的，即n′(x)的符号是确定，最终将问题归结为判断φ(x)的符号，可以说是猜想在推进解题全过程.

策略4先求充分，再证必要

数学解题讲究等价转化，即含参数问题中求得的结果应该是使得原不等式成立的“充要条件”，解题时可先求出原不等式成立的“充分条件”，然后证明其“必要性”【1】.

评析：关注函数取端点值的特殊性，先通过式子成立的充分条件求出参数的取值范围，再证明其必要性，充分性表明：有了就足够；必要性表明：少了就不行.先求充分条件，再证明其必要性，是一种逐步降低解题难度的方法.

策略5同构转化，归于单调

通过将已知条件变形整理，使得不等式两边的式子具有“一致”的结构，从而抽象出共同的函数，再借助单调性将问题加以解决.

评析：依据式子两端具有相同的结构，构造出函数，再将不等关系转化为函数的单调性来求解，过程简洁明了，是本题的最佳解答，但对观察能力提出较高的要求.

本文的五种解题方法充分展示了解决含参恒成立问题的五种基本策略：分类讨论、以形助数、参变量分离、运用充要条件以及同构转化.解题过程我们充分感受到了数学思维的灵活性与多样性.需要指出的是，面对不同问题，究竟选择哪种策略还要因题而异，比如有些式子无法实现参变量分离，不能使用策略3；又如策略5，只有使不等式两边具有一致的结构才能构造出函数.总之，解题首先要根据已知条件选准策略，然后再立足已有条件，紧盯求解目标，围绕当前障碍，探寻处理方法.

另外，“工欲善其事，必先利其器”，求解含参恒成立问题还需要自身具备几个能力，即观察能力、猜想能力、反思能力、化归能力和运算能力.观察、猜想和反思为我们的解题指引了可能的方向，化归和运算则是检验猜想方向是否正确，完成解题过程的基本保障.