不等式恒成立问题中参数范围的求解策略

新疆昌吉市第一中学 (831100) 沙金城

关于不等式恒成立中参数范围求解问题，是不等式问题中相对拔高的题型，解决它需要掌握不等式的性质和常用处理方法，及熟练的解题技巧，本文以例题分析为手段，表述破解此类问题的常用策略，供读者参考.

一、转化求解

当不等式解的范围已给出时，若能进一步分离出含参数的不等式，通过求出不等式的解集进行处理.

二、等价变换

将所研究的问题转化为与之等价的问题，从而陌生的问题转化为熟悉的、精典的问题，便于找出问题解决方法.

三、整体构造

将某些问题题设部分或结论部分视为一个整体，通过对整体结构的调节和转化，可以收到简化运算，降低难度之功效.

例3 已知对于满足等式x2+(y-1)2=1的一切实数x、y，不等式x+y+c≥0恒成立，求实数c的取值范围.

四、分类讨论

在解决与二次函数有关的不等式问题时，如果二次项系数或一次项系数不是常数时，需要先对参数分类讨论，最后再综合得到所求的解.

例4 已知x∈[-1,1]，若不等式x2+(a-2)x+a2-4a+1>0恒成立，求a的取值范围.

五、参数分离

如果已知不等式中的参数可以分离出来，则题目可转化为求函数的最值问题，然后得到参数范围.

例5 已知当x∈[0,1]时，不等式x|x-a|<2恒成立，求实数a的取值范围.

六、数形结合

对于一些无法用代数方法求解的不等式，有时，我们可利用不等式的几何意义及已给的解的范围，直接写出含参数的不等式，即可求出参数范围.

图1

七、变换主元

若问题中有多个变元，在分析问题时需要对主元进行选择，适当选取其他参数为主元，有时会有更好的收获.

八、变量替换

对一些结构复杂的式子采用变量替换的方法，可显露问题的实质，降低思维的难度，达到优化解题的目的.

以上八类方法是解决不等式恒成立问题的常用方法，但需根据各类问题的特点适当选用，有时同一个问题也可能有多种解题方案，而适合你本人使用的方法才是最好的方法.