构造函数思想求解几道数学问题

上海市城市建设工程学校 (200232) 张火明 章幸辛

一般地，函数思想往往是通过构造函数，从而利用函数的概念和性质解题.在解题中，要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的概念和性质，这是应用函数思想的关键.本文列举几例予以说明.

例1 (2020年全国Ⅰ卷理科第12题)若2a+log2a=4b+2log4b,则( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解:由题设可得2a+log2a=22b+log2b,令f(x)=2x+log2x,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(a)=2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b=f(2b)，即f(a)

例2 (2020年全国Ⅱ卷文科第12题)若2x-2y<3-x-3-y,则( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解:由题设可得2x-3-x<2y-3-y，令f(x)=2x-3-x,则函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以由f(x)1，所以ln(y-x+1)>0.故选A.

评注：以上两例求解的关键是通过构造函数，把等式、不等式问题转化为函数问题，从而运用函数的性质解决，由此可以优化解题过程，提高学生思维的灵活性.

例3 已知关于x的方程lg(x-2)+lg(4-x)=lg(1-ax)有两个不同的解，求实数a的取值范围.

评注：通过构造函数，把方程f(x)=0根的问题转化为函数y=f(x)的图像与x轴的交点问题，从而利用函数图像解决问题，也可以把方程问题转化为两个函数图像的交点问题，通过数形结合解决问题，由此可以拓宽学生的解题思路，提升学生思维的广度和深度.

评注：数列是定义在正整数集或其子集上的函数，因此数列问题转化为函数问题，从而运用函数的性质解决.

例5 (2020年全国卷Ⅱ文科第21题)已知函数f(x)=2lnx+1.

(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围；

(1)当00；当x>1时，h′(x)<0.所以h(x)在区间(0,1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.从而当x=1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)=-1-c.故当且仅当-1-c≤0，即c≥-1时，f(x)≤2x+c.所以c的取值范围为[-1,+∞).

评注：本题为含参的不等式恒成立问题，求解关键是不断转化为函数问题，通过求导运用函数增减性质达到求解目的.

通过以上典例分析可见，不少数学问题可通过构造函数，再灵活地运用函数性质，并结合数形结合、分类讨论、化归等思想，往往能达到将问题化繁为简、变难为易的求解.