处理三角函数中参数ω范围问题的基本意识*

华南师范大学附属中学汕尾学校 (516600) 刘光明

近年高考题中常出现根据三角函数图象判断周期范围或通过周期确定参数ω的范围及巧用零点确定ω的取值等问题.本文基于参数ω的取值范围试题，从三角函数的单调性、对称性、最值、零点、不等式等知识融合角度剖析解决参数ω取值范围问题的基本解答思路.通过例题的阐述，反思和提炼出子集意识、数形结合意识和整体意识等三种处理此类问题的基本意识.

1 子集意识

三角函数单调性与参数ω的取值范围相结合是一种比较常见的命题方式，在2012年、2016年、2018年和2019年全国卷中都出现过.处理此类问题的一般想法是先根据题意所已知的函数f(x)单调区间A，求出原函数相应的单调区间D，根据A⊆D得到一个不等式组，通过解不等式组自然得到相应的取值范围，如此处理问题的思维就是子集意识.

例1 (2018年全国卷Ⅱ文10)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，则a的最大值是( ).

评注：例1也可以充分借用选项中的一些特殊数值进行试探，代值检验，仅仅限于选择题，不是一般做法.根据所已知的函数f(x)单调减区间[-a,a]求出原函数相应的单调减区间D，根据[-a,a]⊆D这个子集关系得到不等式组，通过解不等式组自然得到相应的取值范围，此法才是处理三角函数单调区间问题与参数范围的一般方法.

例2 (2015年天津文14)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为.

评注：例2依然是区间上的单调性问题求参数ω范围，故应用子集意识求解.但也可以根据函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增，函数f(x)的图象关于直线x=ω对称得到函数在x=ω处取得最大值进行解答.

2 数形结合意识

所谓数形结合意识，就是根据所已知的函数性质，大致描绘出函数图象，然后从图象中分析出相关函数性质，从而得到参数ω的不等关系.三角函数具有无数条对称轴和无数个对称中心，是一个特殊的周期函数，因此三角函数性质之间具有一种深藏不露的奇妙关系，值得挖掘和应用.

图1

评注：此题不避讳常考知识点，稍有创新，巧用图象呈现出函数的性质，考查读图能力，充分体现数形结合思想.

图2

图3

3 整体意识

整体意识就是将函数f(x)=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看作一个整体，从而将f(x)转化为熟悉的函数y=Asint，根据y=Asint的图象和已知的函数性质进行分析，遵循先定后动原则，借助数形结合意识进行求解.

图4

变式1 已知函数f(x)=2sinωx(cosωx+sinωx)(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰好有一条对称轴和一个对称中心，则参数ω的取值范围是.

图5

A.4 B.5 C.6 D.7

图6

综上所述，正整数ω的最小值为4.

图7