一道数学竞赛试题的解法探究与背景溯源

甘肃省兰州市第七十一中学 (730000) 尚世亮 庞耀辉

一、真题再现

本题考查了双曲线的标准方程、几何性质、直线与双曲线的位置关系以及定点、定直线问题，意在考查学生的数学运算能力与转化、化归问题的能力.考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理与数学运算.试题解法多样，内涵丰富，精彩纷呈，是一道具有研究性学习价值的好题.

二、解法探究

图1

下面的解法同解法1.

点评：方法1和方法2虽然在运算上有些繁，但在思维与化简能力上的要求并不高.究其原因，是因为直线AD(或直线BE)与双曲线的两个交点，都有一个点A(或B)的坐标是已知的，如果需要求另一个交点D(或E)的坐标，即转化为解方程问题.接下来，解题线索会很快理清，只需寻找k1和k2的关系(C、D、E三点共线)，然后将其代入点P的坐标，问题迎刃而解.

当直线DE的斜率为0时，不合题意.

点评：方法3是将直线DE的位置特殊化(比如垂直于x轴)，猜出结论，再进行证明.

三、试题推广

通过不同角度、不同层次的探索、联想、类比发现新问题，充分挖掘解析几何试题，才能揭示数学本质，进一步培养数学抽象素养，提升解析几何的魅力.

结论1,2证明可仿照该题的证法证明，结论4的证明可仿照结论3的证法证明，此处不赘述.

四、背景溯源

1.链接高考

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)证明：直线CD过定点.

图2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设椭圆C的左右顶点分别为A、B，点M是椭圆C上异于点A、B的任意点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x=4于点Q，求证：A,N,Q三点共线.

数学竞赛题、高考真题、高考模拟题是复习备考的重要素材，每年的高考试题都能看到以往高考题、竞赛题的背影.因此，在高三的复习教学中，要充分挖掘真题的价值.

2.背景链接