基于“三个理解” 促进深度学习

上海市复兴高级中学 (200434) 方长林

发展学生核心素养已成为我国基础教育改革的风向标，《普通高中数学课程标准(2017年)》提出了发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大学科核心素养.培育数学学科核心素养的关键是要促进学生的深度学习.所谓深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程[1].深度学习是以对学科本质和知识意义的渗透理解为基础的探究型学习活动，需要学生对学习内容有深切的体验和深入的思考，而不是学科知识的浅层化和学科思维的表层化.当然，有效促进学生深度学习的前提是要充分发挥教师的主导作用.理解数学、理解学生、理解教学的水平是教师专业水平和育人能力的集中表现，是构建深度学习数学课堂、促进学生深度学习的必要条件.理解数学，就是要高屋建瓴地把握数学内容的本质，站在系统的高度认识数学，特别是对数学内容所蕴含的数学思想和方法要有深入理解；理解学生，就是要全面了解学生的思维规律，把握学生的认知特点；理解教学，就是要把握教学的基本规律，按教学规律办事[2].

1 理解数学，设计整体性的单元学习

深度学习的“深”体现在系统结构中.“单元”是知识结构化的重要表现，所以深度学习倡导单元学习.以往的数学教学，教师的着力点往往是单课教学，缺乏对教学内容的整体设计和结构化思考；对数学课堂学习活动的意义、作用关注不够.单元学习设计，就是在单元整体内容中去把握相关的具体数学内容，更加重视数学学科内容本质的学习，更加关注数学学科核心素养的形成、核心能力的提升.开展单元学习设计，教师必须建立好数学学科核心素养与学科核心内容之间的关系，依据课标和教材，选择单元学习主题、确定单元学习目标、设计单元学习问题、落实单元学习评价.

案例1 “三角函数”单元学习

第一环节：深度理解课程标准，确定单元学习目标

(1)理解任意角、象限角、弧度等概念，会进行弧度制与角度制的互化.

(2)理解任意角三角函数的定义.

(3)掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式.

(4)掌握三角函数的图像和性质，体会三角函数是刻画周期现象的重要数学模型.

(5)掌握和差角公式、二倍角公式.通过公式的推导，了解它们的内在联系，提高逻辑推理能力，并利用这些公式进行恒等变形和解决有关计算问题，体会三角式变换的思想方法.

(6)掌握三角函数模型的简单应用，培育数学运算、数学建模核心素养.

第二环节：搭建明晰思维导图，统观单元学习全局

(1)纵向结构思维导图

图1

(2)横向联系思维导图

图2

第三环节：设计问题驱动学习 构建单元知识网络

(1) 为什么要学习三角函数？“任意角”的概念是怎样获得的？

(2) 弧度制的引入为三角函数的研究奠定了基础，你能理解引入弧度制的必要性吗？

(3) 三角函数是怎样定义的？它与幂函数、指数函数、对数函数的定义相同点与不同点是什么？(数学抽象)

(4) 同角三角函数基本关系式和诱导公式由来你清楚吗？公式的应用价值是什么?

(5) 三角函数图像与性质的研究过程与方法你清楚吗？(直观想象)

(6) 两角差的余弦公式不仅是和(差)角公式的基础，也是诱导公式的一般化，你能画一张三角公式的“逻辑结构图”吗？你能领悟这些公式的推导过程中用到了那些数学思想方法吗？(逻辑推理、数学运算)

(7) 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是刻画周期现象一个非常重要的函数模型，你能借助图形计算器作出它的图形吗？知道参数A,ω,φ的物理意义吗？知道参数A,ω,φ对函数图像的影响吗？

(8) 你能针对现实生活中的某种周期现象，用适当的方法搜集数据，处理数据，并利用这些数据为这种周期现象建立一个函数模型吗[3]？(数据分析、数学建模)

单元学习，如果没有问题意识，整个学习过程就变成了知识的记忆，也就成了一种浅层学习.利用有思维含量的问题驱动学习，问题引导、自主探究、解决问题，可以将零散的知识系统化，构建知识网络，形成知识体系，凸显学科大概念知识.同时在解决问题中，也有效地发展了学生的数学学科核心素养.

第四环节：设计多样评价方式 聚焦单元目标达成

“三角函数”单元学习评价表[4]

公正客观的数学单元学习评价，不仅成为促进学生学习改进的有效手段，而且能够帮助学生认识自我，养成良好的学习态度和学习习惯，很好地促进学生的发展.

2 理解学生，设计梯度性的变式问题

深度学习的“深”体现在学生的认知规律中.深度学习是建立在学生已有知识的基础上的概念改变，由易到难，由浅入深，循序渐进，它是一种理解性的学习，强调的是深层次的思考.

数学是思维的学科，数学概念是思维的细胞，数学从根本上说是“玩概念的”.促进学生的深度学习，要重视对“问题串”的设计.设计一系列相互“关联”的“问题串”可以引导学生进行系统的、连续的思维活动[5].

在使用提升小波分解数控机床热误差数据后，采用最小二乘支持向量机(LSSVM)解决对每一层分解信号的训练和预测问题。最小二乘支持向量机方法是采用最小二乘线性系统作为损失函数，代替传统的支持向量机采用的二次规划方法，简化了计算复杂性的同时也可以保证预测结果的准确性[8]。而使用提升小波处理后的功率数据也更有规律，使用最小二乘支持向量机可以进一步提高预测精度。

案例2 “函数的概念”学习片断

(1) 初、高中函数两个定义的比较分析

初中的定义是“变量说”，易于理解；高中的定义是“集合-对应说”，比较抽象，学生难以理解.尤其定义中的函数定义域、值域、对应关系是函数作为数学模型时应关注的三个要素学生普遍感到理解起来有困难.

(2)构建函数的概念学习过程

图3

从认知角度分析，函数概念的学习经历了由具体熟悉的函数到抽象的定义，再到具体实例，归纳，数学抽象，最后形成函数的概念.从学科育人的角度分析，函数概念的学习经历了从数学知识(函数的定义、定义域、对应关系、值域)到数学思想方法(思想：函数；方法：比较、归纳、概括)，再到核心素养(数学抽象)不断升华的过程.

(3)设计符合学生数学认知规律的问题串

图4

问题①集合A，B与对应关系f如图4所示：f:A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么?

问题③设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是.(填序号).

问题④已知定义域为D的函数f(x)=x2,如果值域为A={4 ，9}，这样的函数有多少个？

问题⑤已知函数f(x)的定义域D={1 ，2 ，3}，值域A⊆D且满足f(f(x))=f(x)，这样的函数f(x)有多少个？

问题⑥设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图像绕原点逆时针旋转30°后与原图像重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( ).

设计意图：问题①至⑥由易到难，层层递进.问题①、②检测用函数定义刻画函数和函数三要素的基本认识，属于基础题，是水平一问题[6].问题③运用函数定义作判断，同时需要数形结合，问题④给出对应关系和值域，对定义域的可能性进行分析，检测对函数概念的深入理解，属于中档题，是水平二问题[6].问题⑤、⑥检测对函数概念的深度理解，属于难题，是水平三问题[6].伴随着一系列问题的解决，学生的思维活动也必将由浅入深，真正实现数学概念理解性的深度学习.

3 理解教学，设计探究性的课堂活动

深度学习的“深”体现在数学教学规律中.数学教学的重心在于“学”，而非“教”.所以在数学教学活动中，教师的角色是引导者、合作者，教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，充分地发挥学生学习的主体作用.数学课堂活动设计的关键词：问题情境-自主探究-合作交流-提炼结果.深度学习，需要设计探究性的课堂活动环节.

3.1 创设深度的问题情境，引发探究

案例3 “二分法”教学情境的设计

“二分法”比较常见的情境设计是“猜价格游戏”.的确“猜价格游戏”活动，学生很感兴趣，能够活跃课堂气氛.但是这样的情境与“二分法”的本质没有关联.情境活动中看不见：闭区间上连续函数、端点值异号、函数的零点、方程的根等等.情境与数学内容是两张皮，仅仅是“一半一半又一半”与“二分法”在操作层面上有点相似.我们知道，“二分法”的教学内容蕴含着丰富的数学思想方法，“函数与方程”、“数形结合”、“近似逼近”、“一般与特殊”、“程序化的算法”等等.所以“二分法”教学情境的创设必须以数学内容的本质为依据，以引发学生思考为切入点，引导学生用数学的眼光看问题.

通过把“猜价格游戏”活动进行数学化提炼，学生在这个数学活动过程中，不仅学会了“二分法”，而且渗透了函数与方程、近似逼近、程序化算法等数学思想，更重要的是发展了学生数学建模、数学抽象、数学运算等数学学科核心素养.

3.2 进行深度的课堂对话，引导探究

深度学习需要通过课堂上师生深度的互动来实现，没有有效互动性的数学课堂注定是传授式的满堂灌.传统的数学课堂，教师是主体，教学的评价主要看授课内容的科学性、课堂组织的流畅性、教学语言的清晰性、板书设计的艺术性等.新课标下的数学课堂，学生是课堂的主人，教师是学生学习的同伴.课堂上的师生互动、生生互动、合作交流、自主探究构成了一道道亮丽的风景线.

图5

生1：研究的路径是：图像性质，即画出函数图像，观察图像，直观描述图像变化规律(图形语言)；用自然语言描述函数性质(文字语言)；再用数学语言刻画函数的性质(符号语言).

生2：主要研究函数的定义域、值域、单调性、最值、奇偶性等.

生3：描点作图、图像变换作图(平移、对称、翻折、伸缩)、图形计算器作图、几何画板软件作图等.

生5：描述性，如定义域、值域、奇偶性、单调性等.

生7：运用奇偶性定义f(-x)=-f(x)证明其为奇函数.

生8：运用单调性定义，结合奇偶性判断其单调性.

4 结语

深度学习改变了传统的倾听、记忆、模仿和练习为主的复制型学习方式，转变为以实践、体验、理解和迁移为典型特征的学习[1].促进学生的深度学习，对教师的素养提出了新的要求.需要教师勤于学习、勇于研究、敢于实践，不断提高“理解数学、理解学生、理解教学”的能力，改进教育教学方法，方可引领学生突破知识浅层化、思维表层化的学习，走进数学学科学习的深处，有效进行深度学习，孕育数学学科核心素养.