直观想象素养下一道2020高考试题的解法探析

江智如 叶 蓉 蔡 珺

福建省南平市高级中学 (353000)

1.试题呈现

(2020年高考全国Ⅰ卷理科第11题)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0．直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B．当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )．

A．2x-y-1=0B．2x+y-1=0

C．2x-y+1=0D．2x+y+1=0

2.试题分析

试题依托直线与圆的位置关系，考查圆的切线相关知识，考生可以从圆的几何性质角度思考求解，通过数学阅读，分析试题的图形信息，运用圆的图形相关性质结论，建立数与形的联系，构建问题的直观模型，探索解决问题的方法与思路[1]．考查考生数形结合思想、化归与转化思想和运算求解能力．本文在直观想象素养下，对本试题的解开展探析．

3.试题解析

3.1 几何法

思路分析:借助直线与圆的图象，利用圆的切线几何性质求解．

图1

2，所以⊙M与直线l相离．如图1作出直线l与⊙M的图象，连接AB，PM，交于点N．因为PA，PB为⊙M的切线且点P在⊙M外，所以由圆的性质得PM⊥AB且点N为AB中点，从而|PM|·|AB|=

2|PM|·|BN|．又在△PBM中，MB⊥PB，由面积法得|PM|·|BN|=|PB|·

评析:试题由于动点较多，如果直接采用坐标法求解|PM|·|AB|的最小值，计算量大，不易求解．所以解法1考虑通过圆与直线的图形关系，利用圆的切线几何性质与直角三角形的几何性质，把两个“配角”动点A，B化归转化为“主角”动点P，把问题转化为圆心M到直线l的距离，得到AB∥l关系，最终得到结果．由于利用直线与圆的几何性质，求解过程中减少计算量，减轻考生的计算负担，考查考生数形结合思想、推理论证能力和运算求解能力．解法1要求考生具有扎实的几何功底，体现数学学习的能力与潜能[2]，体现试题的区分与选拔功能，实现对考生直观想象素养和数学运算素养的提升．

3.2 托勒密定理法

思路分析:因为PM，AB是四边形PAMB对角线，所以考虑利用托勒密定理求解．

托勒密(Ptolemy)定理：在任意平面凸四边形ABCD中，均有AB·CD+AD·BC≥AC·BD，当且仅当A,B,C,D四点共圆时，等号成立．它揭示了平面凸四边形中对边和对角线之间的数量关系，广泛应用于解决几何与代数的问题[3]．

评析:解法2运用托勒密(Ptolemy)定理把问题转化为|PM|的最小值，然后利用圆的切线性质求解最终结果，计算量小，技巧性强，需要考生具有较强的数学学习潜能与继续学习的能力，体现考生数学思维与素养的差异．托勒密(Ptolemy)定理虽然不是高中数学的学习内容，但在各类竞赛和高考中，都有它的身影，如2008年高考重庆卷理科第4题[3]，2018年4月福建省质检理科第16题[3]等，可以引导考生以“高观”的视角来学习初等数学，提高学习数学的兴趣，拓宽学习的视野，培养考生自主探究的能力，为考生的继续学习打下扎实基础，提升综合数学素养．

4.解法启示

试题语言精炼，逻辑严谨，依托几何图形，建立形与数的联系，将圆的定义、圆的切线、弦的性质等知识有机结合起来，在重视对解析几何基础理论知识考查的同时，侧重考查了考生数形结合思想和化归转化思想．试题已知条件的设计符合考生的学习实际，给考生提供了多种分析问题和解决问题的思路，引导考生通过有效的数学阅读，利用直观思维抓住圆的几何性质本质，在剖析问题本质的基础上，追求简洁的解题方法，力求解法来源于教材和已学知识，又高于已有知识，同时能够区分不同层次的考生，体现试题的区分与选拔功能，符合《课程标准(2017年版)》对解析几何内容的教学要求．在日常的教学实践中，教师应加强数形结合思想的训练，设置有效的“精致练习”[4]，培养考生独立思考的习惯，发展几何直观与空间想象能力，增强运用几何直观与空间想象思考问题的意识，形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质．