多元双重最值问题的解法探究

谈世勇 马文政

安徽省合肥一六八中学 (230000)

形如求max{min{f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)}}等的问题称为“双重最值问题”．按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题.其中双重最值问题综合性强，难度大，能力要求高.笔者从熟题入手，总结归纳了九种方法，帮助学生提高解决此类问题的能力.

1.利用绝对值不等式

利用绝对值三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求最值，主要是求一些含有双绝对值函数的最值问题，比写成分段函数求最值简单.

例1 求函数f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上的最大值Μ(a)的最小值．

点评：对于解决函数形如f(x)=|ax2+bx+c|,x∈[-1,1]的双重最值问题时，一定是取x=0,x=±1对应的函数值，它们都比最大值小，然后利用绝对值三角不等式求出.

2.利用均值不等式

利用均值不等式求最值，关键在于“拆、拼、凑”，将条件或待求式变形为“和或积”是定值.常见的变形技巧有转化符号、拆补项、配凑系数等.

点评：观察发现三个式子的积可以用均值不等式轻松求出最小值，当然本题目也可以用三个式子的和来求最小值的.

3.利用柯西不等式

柯西不等式在不等式证明中占有重要的地位，柯西不等式在高中数学竞赛中有会成为“常客”，且二维、三维柯西不等式在高中数学中的代数、几何、三角等各个方面都有联系，熟悉这些联系能本质地把握不等式，并更自觉地应用它们.

点评：柯西不等式可以解决整式，分式，与根式的最值问题，通过观察发现分母之和为定值，这恰好就是柯西不等式解决分式的功能.

4.消元法

多元双重最值可以通过消元，使多元变为一元，然后通过构造函数解决问题，类似立体几何中的降维，将三维转化为二维问题来处理.

点评：通过观察，对比可以发现，最快的是将Μ=max{x1+x2,x2+x3,x3+x4,x4+x5}迭加，最大化的消元，而且留下的变量最少越便于后面的再消元.

5.构造函数

构造函数是高中解决最值问题的常用方法之一，构造函数需把握两点:一是掌握一些函数模型，二是能够转化到已有的函数模型.

例5 设a，b，c∈R，f(x)=x3+ax2+bx+c(-1≤x≤1)，求min{max|f(x)|}．

点评：此类问题为切比多项式的逼值问题，从取点到最后的调节系数，都是用已有的结构，本质上是用端点与极值点配合绝对值进行放缩求值.

6.利用韦达定理

韦达定理是高中数学中求最值的方法之一，由已知题设中变量之间的关系，利用韦达定构造二次函数，然后实行消元.

例6 若a，b，c>0且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求min{max{a,b,c}}．

点评：通过两根的“和”与“积”构造函数，设置a为三者中的最大值，构成根分布的范围，从而问题得到解决.

7.分类讨论

分类讨论作为高中数学常用的方法，主要是从那分类，然后再合的过程.先“分”后“合”，把握好分类的节点，往往事情就比较好的解决了.

点评：从a,b大小关系开始分类，最后再合并起来，分类的关键点才是分类讨论中最为重要的.

8.待定系数法

待定系数法是高中数学常见的方法之一，先设出系数，通过题设中的条件将问题解决.

点评：通过题设引入参数，通过基本不等式的性质进行消元，抓住等号成立的条件，将系数解出来，其主要的难度是调节系数的过程，可以用设参来完成.

9.数形结合

“数”体现了精准，“形”体现了直观.二者结合问题能完美的解决.

图1

例8 (2014浙江竞赛)若a>0，b∈R且max{min{2x+4,ax2+b,5-3x}}=2，求a+b．

解：在同一坐标系中画出f1(x)=2x+4，f2(x)=ax2+b，f3(x)=5-3x的图像，如图1,则由图1可知当且仅当f2(x)过Α(-1,2)，Β(1,2)时，才有max{min{2x+4,ax2+b,5-3x}}=2，所以a+b=2．

点评：利用小函数的定义，取两个函数图像下方的部分，组成新的函数，然后再求函数的最值.