核心素养理念下动态图形直观的应用探究

广东省珠海市第一中学 (519075) 江云富 周义昌

在倡导发展学生核心素养的背景下，新颁发的《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称为《新课标》)明确了数学学科的六大核心素养，对于六大核心素养之一的“直观想象”，《新课标》指出：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.并进一步指出，直观想象是提高学生“四能”——从数学的角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力——的重要手段，明确要求通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识.作为数学教师，有责任在日常教学实践中落实《新课标》的要求，有目的地组织、利用好教学素材，切实地发展学生的这些素养.事实上，图形直观在高中数学课堂上往往能启迪学生的思维，带来非常简洁明快和直观优美的方法，在具有几何背景或是可引入数形结合的问题上，运用图形直观，特别是图形动态直观的方法，常常简单明了、直观生动地解决问题，能很好地发展学生的直观想象等数学素养.

一、让静止的图形动起来，从形态变化中寻找解决问题的途径

A．I1

C．I3

图1

例2 (2015年高考数学Ⅰ卷理科第16题)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.

图2

评注：在弄清楚图形结构的前提下，要分清楚图形的哪部分是可以“动”的，哪部分是不能“动”的，可以“动”的部分“动”的范围是什么.

图3

例3 (2009年上海卷理科18题)过圆C：(x-1)2+(y-1)2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，ΔAOB被圆分成四部分(如图3)，若这四部分图形面积满足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ,则直线AB有( ).

A.0条B.1条

C.2条D.3条

分析：由SⅣ-SⅡ=SⅢ-SⅠ及第Ⅱ，Ⅳ部分的面积是定值，可得SⅢ-SⅠ也为定值，先设直线AB在水平位置，然后顺时针绕着圆心C转动AB，显然SⅢ在增加，SⅠ在减少，故SⅢ-SⅠ是单调递减的，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B.

评注：如果孤立地画几条线段去探究，是很难有一个清晰的思路，注意到ΔAOB被圆分成的四部分中，只有第Ⅰ、Ⅲ部分的面积可以改变且SⅢ-SⅠ为定值，将动态图形直观与函数单调性的概念相结合，让直线AB“转动”起来，这样就清晰地揭示问题的本质.

A．β>γ>αB．γ>β>α

C．α>γ>βD．α>β>γ

图4

分析：假设P、Q、R三点开始时都位于三条侧棱的中点，此时三个二面角的平面角相等，当P点向A点移动时，图形直观告诉我们，二面角A-QR-P的平面角γ会变小，同样，当R点向C点移动时，二面角A-PQ-R的平面角α会变大，从开始相等的状态，α变大，γ变小，于是可判断选D.

评注：因为相对于底面BCD，平面PQR不规则地倾斜着，此题若直接去计算这三个二面角的大小，其计算的难度和计算量都让人生畏.事实上此题的命题意图也不是考查二面角的计算，而是对图形直观与空间想象的考查，训练学生通过几何直观和空间想象感知几何体的形态变化，利用空间图形理解和解决数学问题，是非常好的发展数学核心素养的素材.

二、建立几何模型，在几何模型中运用图形动态直观

例5 (2018届广东六校第三次联考理科数学第9题)四面体S-ABC中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，x，则x的取值范围是( ).

图5

图6

常规方法有两个难点，一是建立几何模型，由这种结构的四面体要联想到“补形”为长方体；二是要知道ΔABS是锐角三角形，相比之下，图形动态直观解法只有第一个难点，也非常直观，更重要的是训练了学生的直觉和直观思维.

图7

三、在函数图像中运用图形直观

图8

四、动态图形直观与极限思想的结合

图9

教师对于发展学生的核心素养，关键还是要着眼于课堂，落实于日常教学.在目前的数学教学现实环境中，需要教师慧眼独具，创造性地挖掘、组织和利用教学素材，以本文为例，充分地运用图形动态直观，以变静为动、建立模型等方法，将数学问题的探究，特别是对能力要求高、灵活性强的问题的探究，与发展学生的直观想象完美地结合起来，让发展学生核心素养落实到实处.