代数与几何齐飞 技能共素养一色*——2019年全国Ⅰ卷22题的思考与赏析

广东省广州开发区外国语学校 (510700) 蔡军喜

2019年高考数学全国Ⅰ卷秉承稳定、适当创新的命题风格，呈现了许多立意高远、背景熟悉、设问通俗、内涵丰富、解法多样的好题.这些考题既考查学生的基础知识和基本能力，又考查学生的核心素养和学习潜能，为引领高中数学教学起到了良好的导向作用，有着较大的研究空间和教学价值，值得我们去探究和挖掘.下面以第22题为例，谈谈我的学习和思考.

1.问题呈现

本题以直线的极坐标与椭圆的参数方程为背景，以求多变量的最值为目标，考查学生的数学基本素养.学生出错的主要问题在于方法选择不恰当、运算能力不过关.面对问题表征创新，不能举一反三.缺乏相应转化技巧，消参方法不灵.同时遇到陌生背景、繁难的运算产生心理上的障碍，缺乏有效的应变策略和必要的个性品质.

2.问题思考

思考一：从参数方程到普通方程的考查——准确消参——突出数学运算

思考二：从普通方程到参数方程的考查——灵活用参——突出逻辑推理

(1)(就题论题：用t参)很多同学在第一问不能正确消参得到椭圆的一般方程的情况下，缺乏必要的心理品质和应变技巧.事实上，就题论题，跳步作答，第二问完全可以直接利用已知条件中的t参，实现基本方法和策略的正常迁移.曲线C上任意一点到直线l的距离为

思考三：从代数推理到几何本质的考查——数形互译——突出数学建模

思考四：从具体问题到一般化拓展——概括引申——突出数学抽象

若点P(x0,y0)是曲线F(x,y)=0上任意一点，则P点到直线l：Ax+By+C=0的最短(长)距离，常可数形结合，借助于平行于l的直线与曲线的切线问题来解决.

3.试题赏析

3.1 基于教材素材，立足基础知识

本题的素材来源于教材参考练习，体现了髙考命题“源于教材，髙于教材”的指导思想.题面简洁，题意新颖，在诸多基础知识和基本方法的交汇点处命制，表述通俗，意图清晰，难易适中，构思巧妙，符合学生的认知规律，有良好的区分度.试题立足教材，以教材中的例习题为源泉，既可以保证试卷的公平性，又给学生以亲切感，同时对教师的教和学生的学起到良好的导向作用.

3.2 解题思路宽泛，突出通性通法

本题的解法可谓灵活多样，第一问的消参可以分离加减，也可以降次加减，还可以平方加减；既可以直接代入消元，也可以反向代入消元.第二问既可以就题论题，从题目已知的参数形式入手，也可以选择重构参数切入；多元最值求解可以从函数与方程的视角人手，也可以从运用基本不等式求最值的视角入手(或者从平面向量的视角人手)，还可以通过代数与几何的联系从数形结合的视角入手.从不同的视角、不同的高度都可以得到解决问题的思路，但不同的思路，运算的繁简程度也不尽相同.抓住数和形的有机融合，突出通性和通法的考査是一大亮点.“形散神不散，形变法不变”，在解题教学中，要把通性通法的训练当作重头戏，要让学生独立思考、尝试解答，通过展示和交流使学生在问题求解中掌握本质，以求“不变应万变”.

3.3 着眼数学素养，考査学习潜力

本题很好地体现了高考对数学核心素养和学习潜力的考査，特别是对运算和逻辑推理素养的考査体现得淋漓尽致.许多考生解题思路是清楚的，解题目标是明确的，但却在消参上遇到了困惑，在运算上遇到了阻碍，陷于繁杂的运算中不能自拔，不能选择恰当的方法转化和简化运算，导致功亏一篑，造成遗憾.提高数学运算核心素养，培养学习潜能尤为重要，应该引起教师的高度重视.