例谈绝对值不等式与柯西不等式的综合运用*

河南大学数学与统计学院 (475004) 胡昊宇

由于在各类试题中关于绝对值不等式与柯西不等式的综合运用较为常见，所以我们应引起足够的重视.为了强化这一方面的运用能力，请结合以下归类解析认真领会，以便逐步提高处理此类问题的求解能力.

类型一 给定绝对值不等式的解集，利用柯西不等式求最值

首先，需要根据绝对值不等式的解集，准确求解其中参数的取值；然后根据表达式的外在结构特点，即可灵活运用柯西不等式巧求最值.

例1 已知关于x的不等式|x+4|+|x-m|≤5的解集为{x|-4≤x≤1}．

(Ⅰ)求实数m的值；

(Ⅱ)若a2+2b2+3c2=m，求a+4b+9c的最值．

分析：(Ⅰ)需要先根据所给解集，通过考查特殊情形得到实数m的值，然后再加以检验分析.(Ⅱ)需要先根据(Ⅰ)的结论明确已知条件，再灵活利用柯西不等式求目标式的最值.

解析：(Ⅰ)依题意，当x=1时不等式成立，所以5+|1-m|≤5，解得m=1.经检验知m=1适合题意.故所求实数m的值为1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2+2b2+3c2=1，所以根据柯西不等式得(a+4b+9c)2≤(1+8+27)(a2+2b2+3c2)=36×1=36，即-6≤a+4b+9c≤6.

评注：理清绝对值不等式的解法，明确不等式的解集与对应方程的根之间的关系，掌握利用柯西不等式求最值的技巧，是顺利分析、求解此类问题的关键所在.

类型二 利用柯西不等式求最值，考查绝对值不等式中的恒成立问题

灵活运用柯西不等式，可求解含有多个变量的代数式的最值；处理有关含参数的绝对值不等式恒成立问题时，往往需要关注绝对值三角不等式在解题中的灵活运用.

(Ⅰ)求k的值；

(Ⅱ)若a≤|x+6|+|k-x|对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

分析：(Ⅰ)需要灵活利用柯西不等式求x+y+z的最小值.(Ⅱ)关键在于灵活利用绝对值三角不等式求|x+6|+|k-x|的最小值.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a≤|x+6|+|8-x|对任意x∈R恒成立，所以a≤(|x+6|+|8-x|)min.又由绝对值三角不等式得|x+6|+|8-x|≥|(x+6)+(8-x)|=14，当且仅当(x+6)(8-x)≥0，即-6≤x≤8时不等式取“等号”，所以(|x+6|+|x-8|)min=14.于是，可得a≤14.故所求实数a的取值范围是(-,14].

类型三 利用柯西不等式求最值，考查绝对值不等式中的是否存在型问题

灵活运用柯西不等式，可求解含有两个根式的代数式的最值；处理是否存在型绝对值不等式问题时，往往需要借助绝对值三角不等式灵活分析、解决目标问题.

(Ⅰ)求函数f(x)的定义域和M的值；

(Ⅱ)是否存在实数x的值，使得|x-10|+|x+5|≤M？若存在，求出满足条件的实数x的取值范围；若不存在，请说明理由.

分析：(Ⅰ)求函数的定义域比较简单，难点在于灵活利用柯西不等式求函数f(x)的最大值.(Ⅱ)求解关键在于先利用绝对值三角不等式分析|x-10|+|x+5|的取值范围，再灵活转化目标问题.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：本小题即考查是否存在实数x的值使得|x-10|+|x+5|≤15．因为由绝对值三角不等式得|x-10|+|x+5|≥|(x-10)-(x+5)|=15，所以满足不等式|x-10|+|x+5|≤15的解x就是方程|x-10|+|x+5|=15的解.又由绝对值的几何意义可知：当且仅当-5≤x≤10时，|x-10|+|x+5|=15.故存在实数x∈[-5,10]，使得|x-10|+|x+5|≤M.

评注：(1)结合本题，我们应关注两点：一是柯西不等式的外在结构以及运用的灵活性(正用、逆用、变形用)；二是绝对值三角不等式在解题中灵活运用.

类型四 给定绝对值不等式的解集，利用柯西不等式的取等条件巧求值

首先，需要由解集求参数的取值；然后根据表达式的外在结构特点，不但要考虑柯西不等式的活用，而且还要考虑柯西不等式的取等条件，以便根据题设条件巧求有关代数式的值.

例4 已知函数f(x)=|x+7|，g(x)=m-|x-3|(m∈R)，且不等式f(x)-g(x)≤0的解集为{x|-9≤x≤5}.

(Ⅰ)求实数m的值；

分析：(Ⅰ)需要先明确不等式，再通过构造函数，利用函数的图像及所给不等式的解集加以灵活分析.(Ⅱ)关键在于灵活利用柯西不等式的“取等”条件，巧妙求解目标式的值.

解析：(Ⅰ)由题设知，不等式f(x)-g(x)≤0，即为|x+7|+|x-3|≤m.设函数F(x)=|x+7|+|x-3|，则结合函数F(x)的图像及所给不等式的解集可知，所求m=F(-9)=F(5)=14.

评注：结合本题，我们应关注两点：一是要理清绝对值函数的图像特征；二是要理清柯西不等式的“取等”条件.

综上，关注绝对值不等式与柯西不等式的综合运用，有利于加深对绝对值不等式和柯西不等式本身的理解与认识，有利于提高综合运用能力，拓展解题思维，提升解题技能！