例析曲线公切线下的函数零点问题

江苏省海门中学 (226100) 徐巧石

一、问题提出

曲线在某一点处的切线，作为引入导数概念的背景，以及导数的几何意义贯穿在导数及其应用这一章节.在高考中经常出现与曲线的切线相关的考题,从求切线的方程，到已知切线方程，求相关的值与最值，再到近几年出现了以曲线的公切线为背景的问题.

看似是切线问题，经过转化后实际为已知方程的解的个数求参数的取值范围问题，方程的解又可转化为函数的零点问题.函数的零点作为函数的性质，体现了函数与方程的思想，因此在高考中经常考查，从讨论函数的零点个数，到已知零点个数求参数的范围，再到近两年看似函数的切线问题实则转化之后为函数的零点问题，将零点问题隐藏于背景之中，考查学生转化与化归的能力，关注学生的数学抽象、逻辑推理等数学核心素养.

二、问题解法

下面从基本思路出发，通过转化条件，化为常规问题解决引题.

图1

基本思路：曲线的切线问题抓住切点，因为切点既在曲线上又在切线上，且函数在该点的导数值为切线的斜率，所以先确定切点，切线.如图1，要使得存在满足条件的切线，则该切线与两曲线切于不同的两点.

图2

转化：这样的直线有且仅有两条，转化为a=

进一步思考：若此题改为解答题，则数形结合的方式有不得分的点，需要对问题再转化，a=

三、问题的分类

1.两条曲线的切线切于同一点

分析：(1)只需说明方程组无解即可；(2)由已知建立方程组，解方程组即可得；(3)两个参量分各处理解方程组.

反思:此题3问有3个不同的函数背景，(1)是一次函数与二次函数不含参数；(2)是对数函数与二次函数含有1个参数；(3)是指数函数与二次函数且含有3个变量.3问将高中常见的函数融合为一题，且层层递进，对学生思维的考查逐问提高，是难得的好题.第3问中有3个变量满足∀a>0,∃b>0,∃x>0,使得方程组成立，多变量问题的处理采用各个击破的策略，先处理容易解决的，如题中先转化为a与x的方程有解，即构造三次函数证明存在零点，再建立b与x的关系，说明b>0.

2.两条曲线的切线切于两点

分析：找到y=ex上的切点，是解决的关键，指数式与对数式的互化是处理的技巧.

分析：本题为例2的一般情形，处理的关键是消元构造函数，转化为函数存在零点.

图3

四、问题的拓展

分析：(思路一)设切点，求出切线，两直线重合，建立方程组；(思路二)利用两切点求出斜率与求导得到斜率建立等式.

反思：法一的关键是消元构造方程，换元转化为函数零点；法二的关键利用斜率相等构造齐次式，换元化为函数的零点.

五、问题的启示

1.关注高考真题，研究命题动向

学生要善于解题，作为教师更要善于解题.每年的高考真题，都是经过命题专家经过精心构造，巧妙设计的好题，很有研究的价值.研究真题的背景、考点、解决策略，探寻命题的方向，对于高三复习有一定的帮助.例如上述2019年全国Ⅱ卷理20题与2018年天津卷20题本质为同一类型.

2.关注基本思路，研究等价转化

新课程标准中关于高考命题的原则：考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；关注数学本质、通性通法，淡化解题技巧；融入数学文化.因此在教学的过程中要关注问题处理的基本思路，建立等价命题系统，将综合性问题灵活转化化归问基本题型，常见结构.

3.关注课堂生成，研究探究价值

课堂是教学的主阵地，在课堂中要给学生充足的时间思考、对问题进行联想，寻找题目背后隐藏的基本概念，基本思想、基本模型.基础是发展的“根”与“本”，根深才能叶茂.课堂有生成说明学生在思考，思维在提升.高考题的题源来于教材，往往是教材某些概念的深化，例题的推广，因此在课堂中要重视习题，联系教材概念、例题，进行适当的探究推广，对学生的思维发展大有裨益.