例谈多变量问题的求解策略

广东省中山纪念中学 (528454) 李文东

在各地的高考试题和模拟试题中,经常涉及多元变量的范问题,这类问题因为所含变量为两个及以上，具有很强的灵活性，解法多样，所以大部分同学对此问题产生畏惧心理.此类问题充分考察了转化和化归的思想，消元(换元)的思想，数形结合的思想，对数学逻辑思维能力提出了比较高的要求.本文针对此类问题，提出解决该类问题的一些策略，以供教学参考.

策略一、整体换元法

破解多元变量问题的一个有效方法是通过适当的变形后将含有多个变量的表达式看作一个整体变量，进行整体换元，达到减少变量的目的.

例1 若存在正实数m，使得关于x方程x-k(x+m-2ex)[ln(x+m)-lnx]=0有两个不同的实根，其中e为自然对数的底数，则实数k的取值范围是.

分析：方程x-k(x+m-2ex)[ln(x+m)-lnx]=0中含有三个变量x,k,m，而ln(x+m)-lnx=

图1

策略二、引入中间变量进行换元

除了整体换元外，对于多变量问题，可以通过引入一个新的中间变量达到换元的目的，比如x2+y2=r2，则设x=rcosθ,y=rsinθ.再比如均值换元法：若x+y=2m，则设x=m-d,y=m+d等等.

例3 已知a,b∈R，且ex≥a(x-1)+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是.

点评：本题常规的做法是构造函数f(x)=ex-a(x-1)-b，利用求导分类讨论的方法，比较复杂，不太容易理解.这里通过数形结合的思想通过引入中间变量，切点的横坐标x0来解决，比较有新意.

策略三、变换主元

对于一些多变量的问题，有时可以更换一下主元，换一个角度看问题，则复杂的问题迎刃而解.

分析：函数f(x)因为含有e2x,2t(ex+x),x2，若直接求导运算会比较复杂，如果我们换一个角度，将变量t视为主元，转化成关于t的一个二次函数.

例6 (2015全国Ⅰ卷文科21)设函数f(x)=e2x-alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数；

分析：本题第二问一般的做法是对f(x)求导后虚设零点，设而不求的方法解决.这里采用变换主元的思想来尝试一下.

策略四、数形结合利用几何意义

对于多变量的表达式，有些具有明显的几何意义，可以借助几何图形意义加以解决.

例7 接例5

图2