两次“放缩”法求最值

福建省莆田市莆田第十二中学 (351139) 蔡志林

在运用基本不等式求最值时，一般是利用不等式的同向放缩达到解题目的，而有些问题还需要两次甚至多次的放缩.下面举例介绍此类问题的几个典例，供参考．

一、分步放缩

点评：本题虽然用了两次不等式，但由于等号成立的条件是一样的且缩小的方向一致，故而并不影响最小值的确定，如果等号成立的条件不一样或方向不一致，则得出的结果肯定是错误的，须引起重视．

二、连续放缩

例2 已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值是．

点评：本题中给出了一个不等式的条件，将欲求式向已知条件转化是基本的思路，通过两次使用基本不等式达到了解题目的，而三个取等号的条件都可以达到是正确解题的关键．

三、分段放缩

例3 若不等式x2+2+|x2-2x|≥ax对x∈(0,4)恒成立，则实数a的取值范围是.

点评：由于题中含有绝对值符号，增加了问题的难度，但只有抓住这一点，即|x2-2|≥0，才能简化问题求解的过程，解题过程中注意放缩时取等号的一致性非常重要.

四、分别求最值

点评：本题中虽然求最小值时不是用同一种方法，但不等式方向和取等号的条件是一致的，故这样的解题方法和所求的结果都是正确的．

五、分条件求最值

点评：本题中也采用了两次“缩小”，但在特定的条件下，两个不等式中的等号可同时成立，这样求出的最值正确有效的，此处寻找等号成立的条件十分必要．

六、利用放缩时的等号求值

点评：本题通过不等式的连续放缩，根据各个不等式成立的条件，得到了隐含着的等量关系，使求值问题得到圆满解决.