数形结合思想方法应用举例——观数思形妙转化

陕西省汉中市四〇五学校 (723312) 侯有岐

一、考点回顾

在近几年的高考试题中，观数思形，利用数形结合思想解题是高考数学中解决部分函数选填压轴题时常用的解题技巧之一，这也是数形结合思想的最基本应用.对于某些函数最值问题，有时候通过求导数、判断函数单调性的处理策略无力解决时，我们不妨观数思形，从图像的角度来思考分析，可以通过观察函数图像，给待求式赋予一定的几何意义，从而寻求问题的解决.本文通过实例，展示观数思形、巧妙转化及利用数形结合转化思想解决函数相关问题的常用方法.

二、典例剖析

例1 (陕西省汉中市四〇五学校2018年高三模考题理12)已知关于x的函数y=(x-a)2+(ex-a+1)2(a∈R)的最小值为m(a)，求m(a)的最小值.

分析：此题并非常规函数类型，初步想法是可以通过求导数，然后判断函数的单调性，以此求出函数的最小值y′=2x-2a+2e2x-2(1-a)ex，在求解y′=0时遇到非常大的困难，这样单调性就无法判断.那么，换个角度思考，观察函数的表达式，可以发现函数表达式是由两个完全平方式构成，自然联想到平面上两点之间的距离公式，于是可以将问题转化成求两点P(x,ex),Q(a,a-1)之间的最短距离的平方来处理.

图1

解法一：设P(x,ex),Q(a,a-1)，则y=PQ2，且点P(x,ex)为函数y=ex图像上的一个动点，点Q(a,a-1)为直线y=x-1上一动点，如图1所示.

将直线y=x-1向y=ex方向平移，与其相切，设切点为P，过P作直线y=x-1的垂线段，垂足为Q，此时的PQ为最小值.

图2

例3 (汉中市四〇五学校2018年高三模考题)在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( )条.

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

图3

分析：将数的问题辅以形的意义,利用圆的定义画出分别以A(1,2)、B(3,1)为圆心，以1、2为半径的两个圆,然后再根据两圆的位置关系,把问题转化为研究两圆的公切线的条数.

评注：本题若直接求解比较困难，但若观数思形，将数的问题辅以形的意义，就有事半功倍的效果，其实这样的方法在高考题中屡见不鲜，要引起高度重视.

例4 (汉中市四〇五学校2018年高三模考题)竖立在地面上的两根旗杆的高分别为10米和15米，相距20米，则地面上到两根旗杆顶点的仰角相等的点P的轨迹是( ).

(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线

分析：由于P点在地面上,因而只要将动点P所受的空间限制条件转化为动点P在地面上的限制条件,再由相关知识即可求出.

图4

三、总结反思

数形结合的思想是我们平时做题时最常用的方法之一，数的抽象可以通过形的直观来理解，数形结合就是实现代数与几何之间的相互转化，具体应用表现在以下两个方面：

1.通过坐标系、图像等，“形”题“数”解

借助直角坐标系可以将图形问题代数化，这一方法在解析几何和立体几何中体现的相当充分,常与以下内容联系：①实数与数轴上点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如向量、三角函数等.⑤以函数图像为载体，解决有关函数最值等问题.

2.通过转化构造，“数”题“形”解

在解题过程中，许多代数结构有着明显的几何意义，因此，可以将“数”与“形”进行巧妙地转化灵活解题.如本文所举的例题.另外，函数的图像也是实现数形结合的有效工具之一.因此，函数思想和数形结合思想经常结合起来应用于解题.

四、高考预测

从目前高考“注重通法，淡化特技，培养素养”的命题原则来看，高考对数形结合的考查主要体现在以下三个方面：一是利用数形结合直观、简捷地解答选择题、填空题；二是利用数形结合求解解答题，特别是向量法、坐标法在立体几何、解析几何中的应用及函数图像在函数与导数综合问题中的应用；三是以图表为载体，考查读图、识图及信息转换能力.这种问题在选择、填空题中有增加题量的趋势.

总之，数形结合思想其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图像之间的相互转化，它可以是代数问题几何化，几何问题代数化.