再谈三角形面积最值问题

安徽省宿州市砀山中学 (235300) 杜为荣 毛晓伟

三角形面积问题是解三角形专题中的重要题型，尤其是三角形面积最值题，极能考查学生综合解决问题的能力，备受命题者的青睐.笔者略举几例，抛砖引玉.

类型一 已知一角及对边，求三角形面积的最大值

例1 在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足(2a-c)·cosB=bcosC.

(1)求角B的大小；

类型二 已知一角及邻边，求ΔABC面积的取值范围

(1)求角B的大小；

(2)若ΔABC为锐角三角形，且c=1，求ΔABC面积的取值范围.

类型三 已知一角及该角所对边的中线，求三角形面积的最大值

(1)求角C的大小；

(2)若D为AB的中点，且CD=1，求ΔABC面积的最大值.

类型四 已知一边及两边和，求三角形面积的最大值

例4 在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sinA=sinB+sinC，a=2，求ΔABC面积的最大值.

类型五 已知一边及另两边之比，求三角形面积的最大值

(说明：已知点M与两定点A,B的距离之比为λ，(λ>0,λ≠1)，|AB|=2a，则点M的轨迹为圆通常称这个圆为阿波罗尼斯圆，且圆心为

上述五种类型是从不同视角解决问题，方法不同，其实三角形面积最值问题，求解方法多种多样，以上五种解题方法也是相通的，以后再遇到面积最值问题可从以下几个视角分析:(1)转角化边，利用正余弦定理，基本不等式求解.(2)转边化角，利用正余弦定理，三角函数求解.(3)建立适当坐标系，利用坐标求解.(4)转化向量，利用向量求解.(5)几何思想，借助图形求解.