蒙日圆中的几个优美结论及推广

四川师范大学数学科学学院 (610068) 纪定春

蒙日，法国数学家，被誉为射影几何之父，将分析学用于几何研究，反过来用几何去解释微分方程，并探讨了偏微分方程的特征理论．圆作为几何研究的重要对象之一，在小学数学中就对圆有初步的认识，如圆的半径、直径、周长、面积等．初中平面几何，对圆的性质进行了进一步刻画，侧重于圆几何性质(形)的研究．高中数学，将圆放在直角坐标系中来研究，体现的是一种坐标化(数)的思想(量化思想)，侧重于定量研究，这得益于17世纪笛卡尔创立直角坐标系，让几何研究踏上了新的历史征程，使得更多隐性的几何性质逐步的被发掘．从小学对圆的初步认识到初中平面几何的定性研究，最后到高中的定量研究，完美的体现了从“形”到“数”的思想，从直观到抽象的思维过程．蒙日圆是由椭圆的两条切线问题产生的，其实蒙日圆并不陌生，在高考数学中也曾出现过，如2013年安徽高考卷第18题、2014年广东高考卷第20题等．接下来，将对蒙日圆的概念做简单介绍，给出蒙日圆的几个优美结论，并将蒙日圆的部分性质推广到双曲线和抛物线中，希望对大家有所帮助．

1.蒙日圆的概念简介与证明

在一个椭圆中，椭圆的任意两条相互垂直的切线，其交点的轨迹在一个圆上，这个圆是以椭圆的中心为圆心，以椭圆的长半轴与短半轴的平方和的算术平方根为半径，这个圆称之为蒙日圆或准圆，即椭圆的外切矩形的外接圆．

证明：当两条相互垂直的直线斜率不存在或为零时，易得P点坐标为(±a,±b)．现假设不为上述情况，设点P的坐标为(x0,y0)，其中x0≠±a，y0≠±b．设过点P且与椭圆相切的直线方程为y=k(x-x0)+y0．

评注：蒙日圆的证明方法有很多种，除了代数法，还可以用几何法、参数法等．

2.蒙日圆中的几个优美结论

由于在任意一个平行四边形中，对角线的平方和等于该平行四边邻边平方和的二倍，这个结论位于人教版必修4第109页，证明方法较多，如向量法等，此处不再具体给出．

由直线过原点及椭圆的对称性，可得|2OP|2+|F1F2|2=2|PF1|2+2|PF2|2．

由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，平方可得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2．由|F1F2|=2c，a2=b2+c2，代入并联立上面两个等式，可得|PF1|·|PF2|=a2+b2-|OP|2．故

|PA|·|PB|=|PF1|·|PF2|，结论得证．

证明：直接证明该结论较为繁琐，不妨借助结论1．引一条过原点(圆心)且过切点P的直线，与蒙日圆交于C、D两点．显然，在蒙日圆中，线段AB与CD相交，由圆的相交弦定理可知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|．

由结论1，可知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|=|PF1|·|PF2|．所以|PA|·|PB|=|PF1|·|PF2|，则该结论成立．

评注：该结论描述的是椭圆上任意点到两焦点线段的长度与到蒙日圆上两交点线段长度的数量关系，将切点到蒙日圆的线段长度与切点到椭圆焦点的线段长度联系起来．

评注：该结论，描述的是椭圆准线上的一点引蒙日圆切线长与该点到离准线最近的焦点的数量关系，这个结论将椭圆的准线、焦点、蒙日圆三者联系起来．

证明：由结论2可知|PA|·|PB|=|PF1|·|PF2|．由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，和为定值．从不等式的视角来看，和为定值积有最大值．易得|PF1|·|PF2|的最大值为a2，当且仅当|PF1|=|PF2|=a等号成立．同理，可得|PF1|·

|PF2|的最小值为a2-c2，当且仅当|PF1|=a±c，|PF2|=a∓c时，即P在点(±a,0)时，等号成立．

评注：该结论指出，过椭圆上任意切点的直线与蒙日圆相交，这切点到两个点长度的乘积是有界的，且以椭圆的短半轴的平方为下界，以椭圆长半轴的平方为上界．

3.蒙日圆的推广

圆锥曲线的性质具有相似性和遗传性．阿波罗尼奥斯所著《圆锥曲线论》，将演绎几何推到了巅峰，揭示了圆锥曲线的内在的本质联系．在高等几何中，描述了点、直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线之间的内在关联，其中圆在变换中起到基础性的作用[1]，如点可以视为直径为零的圆，直线可以看成直径无穷大的圆，椭圆可以视为“压扁”的圆(用线性变换的角度来看，即为压缩变换)等，这些充分的表明的圆的基础性和圆锥曲线之间的内在关联性．接下来，将蒙日圆到退化到圆中，再将其推广到双曲线和抛物线中去．

引理在矩形ABCD所在的平面内任取一点O，则有等式OA2+OC2=OB2+OD2成立．

可以用建系法、向量法、构造勾股定理等方法证明该引理成立，方法较简单，此处不再具体给出．接下来，将用几何法证明该交点P的轨迹方程为x2+y2=a2-b2．

图1

证明：如图1所示，设双曲线的左右焦点分别为F1、F2，两条切线与双曲线的切点为A、B两点，过F1作关于AP的对称点R，且与AP交于点G．由双曲线光学性质，可知A、R、F2三点共线．

评注：此推广描述的是双曲线中的蒙日圆的特性，该圆是以双曲线的中心为圆心，以上双曲线实半轴平方与虚半轴平方之差的算术平方根为半径．

双曲线可以通过椭圆得到，那在双曲线中是否有椭圆中一些相似的性质呢？当然有．

性质1 如图2所示，已知F1、F2为双曲线的左右焦点，过双曲线上任意一点P引过原点(双曲线蒙日圆的圆心)的直线，与蒙日圆交于M、N两点，则有|PF1|·|PF2|=|PM|·|PN|．

图2

证明：略．(提示：用两点间的距离公式可证．)

评注：值得注意一点的是，过抛物线上任意点做蒙日圆的割线，上述结论依然成立，过原点是一种特殊的情况，是为了和上述结论1相对应．

性质2 过双曲线上任意一点P引双曲线蒙日圆的切线，设切点为Q，则有切线长的平方等于该点到抛物线两个焦点距离的乘积，即|PF1|·|PF2|=|PQ|2．

评注：该性质可由上述性质1和圆幂定理得到，此处不再给出具体的证明过程．

推广3 抛物线y2=2px的两条相互垂直的切线的交点P的轨迹为抛物线的准线．

证明：如图3所示，设两条与抛物线相切且垂直的直线交点为P，与抛物线的两个切点分别为A、B．

设点P的坐标为(x0,y0)，过点P且与抛物线相切的直线方程为y=k(x-x0)+y0．联立直线与抛物线的方程，消去y可得k2x2+(2ky0-2x0k2-2p)x+(kx0-y0)2=0．

故抛物线两条相互垂直的切线的交点P的轨迹为该抛物线的准线．这是一条垂直于x轴的直线，如何理解它呢？实际上该直线可看成是圆心在无穷远处的一个“蒙日圆”．既然可以看成是圆，那是否会“遗传”椭圆中蒙日圆的一些相似性质呢？

性质6 由性质4和性质5，可知抛物线焦点到两个切点的距离之积等于焦点到“蒙日圆”上该点距离的平方，即|FA|·|FB|=|FP|2．

评注：性质4、5证明较为简单，性质6可以借助射影定理、相似或勾股定理等证明，此处不再具体给出．性质6，可改写成|FA|·|FB|=|FP|·|FP|，这就与椭圆中蒙日圆的结论1统一起来，当双曲线“蒙日圆”的圆心在无穷远处时，此处的点P可以看成结论1椭圆中直线与蒙日圆的两个交点A、B在无穷远处无限靠近，即收缩为一个点．

4.结束语

蒙日圆是一种重要的圆，在高考数学中也曾出现过，这足以表明它的重要性.通过对蒙日圆的研究，可以发现，在圆锥曲线中，很多性质都具有相似性，也就是家族“遗传性”.因此，在圆锥曲线的教学过程中，要注意将椭圆、双曲线及抛物线这几个知识模块串联起来教学，这样有助于学生构建圆锥曲线的知识框架，促进学生整体性思维的发展.