一道高三质检题的多解与探究*

福建省莆田第二中学 (351131) 蔡海涛

1.试题呈现

(2020年泉州市高三质检·理21)已知函数f(x)=(x2+ax+1)ex.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数g(x)=(x2+1)ex-mx-1在[-1,+∞)有两个零点，求m的取值范围.

2.试题分析

试题题干结构比较简单,以含二次函数及指数函数的初等函数为载体，与不等式相结合，主要考查导数的综合应用.第一问考查的是导数的应用，利用导数求函数的单调区间基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等；第二问考查的是利用导数研究函数的最值、零点，不等式等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养．

3.解法赏析

试题的第二问涉及已知函数零点个数求参数的取值范围，下例举几种常用方法，旨在抛砖引玉.

法1(略解)：由已知g′(x)=(x+1)2ex-m,

①当m≤0时，g′(x)≥0，g(x)在[-1,+∞)单调递增，显然不合题意，舍去.

②当m>0时，易得g′(x)在[-1,+∞)单调递增，因为g′(0)=1-m,g(0)=0.

(ⅰ)当m=1时，g′(0)=0，则易知g(x)在[-1,0)单调递减，在[0,+∞)单调递增，所以g(x)min=g(0)=0，则g(x)在[-1,+∞)只有一个零点，不合题意，舍去.

(ⅱ)当m>1时，g′(0)<0，g′(m)=(m+1)2em-m>0,∃x0∈(0,m),使得g′(x0)=0,则g(x)在[-1,x0)单调递减，在[x0,+∞)单调递增，所以g(x0)(m2+1)-m2-1=0，根据零点存在性定理，g(x)在(x0,m)有且只有一个零点，又g(x)在[-1,x0)上有且只有一个零点，故当m>1时，g(x)在[-1,+∞)有两个零点.

评注：首先对函数g(x)求导，研究其单调性，当m≤0时易得；当m>0时，注意到g(0)=0，故对g′(0)的符号进行讨论，结合零点存在性定理，确定函数y=g′(x)的零点x0的范围，从而得到函数g(x)的单调性，结合零点个数分析其大致图象，进而求参数的取值范围.

法2(略解)：同法1，g′(x)=(x+1)2ex-m,m≤0时，不合题意，舍去.

评注：当m≤0时同解法1，当m>0时，注意到g′(x)在[-1,+∞)单调递增，结合零点存在性定理，得到函数y=g′(x)的唯一隐零点x0，并得到关系式(x0+1)2ex0=m，从而得到g(x)的单调性，由零点个数得必要条件，进而求参数的取值范围.法1与法2的基本思路一致，都是从分析讨论g(x)的大致图象入手，区别之处在于法1先关注g(x)的一个零点0，法2先关注y=g′(x)的隐零点x0，因入手点不同导致对参数讨论的切入点差异.

评注：本题对参数部分分离，转化为函数h(x)=(x2+1)ex与函数φ(x)=mx+1的图象的交点问题，一个函数不含参数容易求导，另一个含参函数的图象是一条直线，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围，使得运算简化.

4.方法归纳

已知函数的零点个数求参数的取值范围问题综合性较强,除了涉及函数零点存在性定理以外，一般还与函数的单调性、方程、不等式等知识有关，而这些知识与导数均有着密切的联系.因此这类问题的求解，往往利用导数这一工具结合函数与方程、分类与整合、数形结合、有限与无限等思想求解.

一般地，根据已知函数f(x)(含参数a)零点的个数，判断存在的条件进行求解，常有三种方法.一是讨论函数y=f(x)的单调性，画出f(x)的大致图象，再结合零点个数确定参数a的取值范围；二是分离参数a，转化为函数y=g(x)的图象与直线y=a交点的个数问题，进而确定参数a的取值范围；三是部分分离参数，转化为两个初等函数图象的交点个数问题.