直线与椭圆位置关系的判定定理别证与推广

湖南省隆回县第二中学 (422200) 彭利波

(1)当d=1时，直线l与椭圆Γ相切；

(2)当0≤d<1时，直线l与椭圆Γ相交；

(3)当d>1时，直线l与椭圆Γ相离．

文[1]所利用到的平移变换、伸缩变换都是仿射变换的一种特殊形式，在高中教材中作为选修内容出现，在高考中直接份量不多，故在平时教学中要求较低．相对而言，作为选修内容出现的椭圆的参数方程这一内容会比较熟悉，本文将利用文[2]中椭圆的参数方程解法对这个定理给出一个通俗易懂的证明．

(1)由sin(θ+φ)=±1在θ∈[0,2π)上有唯一解，此时直线l与椭圆Γ有一个交点．即d=1时，直线l与椭圆Γ相切；

(2)由-1

(3)由sin(θ+φ)>1在θ∈[0,2π)上无解，此时直线l与椭圆Γ没有交点．即d>1时，直线l与椭圆Γ相离(证毕)．

类似的，利用该法可以推导出直线与双曲线位置判定定理．证明过程留给读者，结论如下：

(1)当d=1时，直线l与双曲线Γ相切；

(2)当0

(3)当d>1时，直线l与双曲线Γ相交；

(4)当d=0时，直线l与双曲线Γ相交或相离(相离时直线为双曲线的一条渐近线)．