基于数学运算素养培育的教学实践与思考——以解析几何中面积问题为例

广东省汕头市澄海华侨中学 (515800) 潘敬贞

广东省东莞市麻涌中学 (523000) 骆妃景

广东省佛山市顺德区第一中学 (528300) 杨承根

1.引言

《高中数学课程标准(2017版)》明确提出六大核心素养，数学运算是六大核心素养之一.数学运算是学习数学的基石，也是解决数学问题的基本手段.具备一定的数学运算求解能力是获取数学知识、有效参与数学活动，积累数学经验的基本要求.数学运算能力的高低直接影响着数学学习效果，甚至是制约着学生深度学习数学的重要因素.近年来，高考题对数学运算素养的考查也摆在重要的位置，数学运算的重要性不言而喻.因此，在平日的课堂教学中如何利用教学内容为载体，培育学生的数学运算素养，是每一位一线数学老师都面临的一个重要课题.数学运算，首先要明晰运算对象，理清求解思路，再设计运算思路并动手实践，再优化运算过程，最后反思小结、积累经验提升运算素养水平.本文以解析几何中面积问题为载体，从明晰运算对象，理清求解思路，设计运算思路，学生动手实践，变式训练等角度开展教学实践，旨在培育学生数学运算素养，最后提几点教学思考供同行参考、交流.

2.解析几何中面积问题

解析几何是高中数学的核心内容，是高中数学教学的重点与难点，也是考查运算推理能力和运算求解能力的绝佳素材，同时也是培育数学运算素养的沃土.解析几何中面积问题的求解重点考查运用代数方法研究几何问题，主要涉及平面几何的性质，直线方程，韦达定理，点到直线的距离公式，分类讨论等解析几何的核心内容以及利用基本不等式或函数单调性求最值，在此过程中运算推理尤为关键.近年来，解析几何中有关面积问题(三角形和四边形的面积)一直是高考命题的热点，常以压轴题的形式出现.

三角形面积问题是解析几何中的基础问题，相对复杂问题基础问题的研究对象更加清晰，解题思路更加明确，更有利于训练数学思维、培育数学素养，所以认为解析几何中的面积问题(三角形和四边形的面积)是培育数学运算素养的绝佳载体.

3.教学实录

3.1 明晰运算对象，训练数学思维

师：大家一起思考、讨论一下ΔAOB的面积的求法.

师：很好，其他同学有不同的想法吗？

生2：依题意可得椭圆C的焦点F1(-1,0)，F2(1,0)，直线l:y=x-1经过椭圆C的焦点F2(1,0)，所以ΔAOB分割为同底(OF2)的两个三角形(ΔAOF2与ΔBOF2)面积之和.

师：非常棒！还有吗？

生3：设直线AB与y轴的交点为P，所以ΔAOB分割为同底(OP)的两个三角形(ΔOBP与ΔAOP)面积之和.

师：非常棒！

设计意图:直接已知一个较为简单的椭圆标准方程和直线相交，要求两个交点(A,B)和坐标原点O的连线所围成三角形(ΔAOB)的面积，这是一个很简单很基础的问题，绝大部分学生都能参与思考和解答的问题，保证了学生的参与度.同时也有利于学生研究问题对象，学生间的交流，探索求解思路有更多的思想共鸣，更有利于交互想法，能很好的营造一个和谐的学习氛围.让学生有更多的思考和交流机会，有利于理清问题求解的思路和训练学生的数学思维.

3.2 设计运算思路，培育数学运算素养

师：对于ΔAOB的面积求解同学们提供了三种解决思路，三种思路大家都动手试求解一下.

(大概过了10分钟左右，学生展示求解过程)

师：大家展示一下解答过程，谁先来展示以边AB为底，以点O到直线AB的距d为高的求解过程.

师：这位做的很好，其他同学有不同的求法吗？

生5：我是联立解方程求出A,B两点的直角坐标，再利用两点间的距离公式求出AB的长度.

师：联立直线与曲线方程消元后得到的一元二次方程容易解的，求两点的坐标也不失为好选择，所以我们解题时如果能够根据题意和自己的长项选择合适的方法，可优化运算，简化解题过程，提高解题效率.

师：谁来展示一下ΔAOB分割为同底的两个三角形面积之和.

生6：我是将ΔAOB分割为同底(OF2)的两个三角形(ΔAOF2与ΔBOF2)面积之和.

生7：我是先设直线AB与y轴的交点为P，再将ΔAOB分割为同底(OP)的两个三角形(ΔOBP与ΔAOP)面积之和.

师：非常棒，这两个思路的本质是一样的，他们的解答过程都很简洁，更能优化运算过程，是很不错的方法.有时还可以利用分割法即把所求的三角形面积分成两三角形面积之差，但分割法解决此类面积问题仅限于直线过定点，且三角形的顶点中，有一个顶点坐标已知.这三种解答思路都是解决此类三角形面积问题的通性通法，大家要熟练者三种思路的特点，在不同的问题情境中选择合适的求解思路和解答策略.

设计意图:让学生有更多的机会进行实践体会，对自己的想法和他人的好解法要亲自动手获取最真实的体验，同时在展示求解过程实现相互学习、相互提升的目的.

3.3 变式训练，发展数学运算素养

师：请大家动手求解变式1.

生8：因为已知直线l过F1，所以只需求出直线l的斜率就能利用点斜式得到其方程.根据问题1的解题经验，利用分割法求ΔABF2的面积.

师：非常棒，这位同学在设直线的点斜式方程时很细心，先考虑直线斜率不存在的情况，这是很多同学容易遗漏的，还有其他解法吗？

师：学以致用，非常好，用分割法求面积，并反设直线方程简化解答过程，大大减少了运算量，有效回避讨论直线的斜率是否存在，这是我们必须要熟练掌握的方法，这位同学非常善于灵活运用学习经验，选择最优化的解题思路值得我们为他点赞！

设计意图:在问题1的基础上，做适当的变式，让学生根据三角形的面积求法列有关方程并求解，进一步深化对三角形面积问题的理解以及理清解题思路，巩固所学知识.同时引导学生回顾求过x轴上的定点的直线方程的两种常用方法，深刻体会两种方法的优劣，培育学生优化运算的意识，促进学生数学运算素养的发展，并为下面更一般化的变式解答作铺垫.

变式2 设椭圆C的左右焦点分别为F1、F2，已知过点F1的直线l与椭圆C有两个不同的交点A、B，求ΔAOB面积的最大值，并求出此时直线l的方程.

师：已经非常很棒了.解析几何中，面积最值问题是考题中的热点问题，此类问题涉及的知识点多，综合性强，运算量大，这位同学能做到这里已经很棒了，解答的思路清晰明了，能围绕目标合理转化，反设直线方程，有效的优化运算过程，利用分割法将三角形的面积构造自变量为m的函数，我们为这位同学点赞.那接下来怎样求S(m)的最大值呢？哪位同学来挑战一下？

生11：我利用换元法，利用基本不等式最后取不到等号，所以利用函数单调性求S(m)的最大值.

师：很好，非常很棒！换元法是一种非常重要的方法，换元法有效的将复杂的问题转化为熟悉且简单的问题进行解决，这位同学的解法就这样，很巧妙的将问题解决了.同时，这位同学很细心，在利用基本不等式求解时要注意等号成立这一重要条件，大家可以学习借鉴.

设计意图:变式2以三角形面积最值为研究对象，提升了问题的复杂性，增加求解难度，将课堂的学习推向高潮，促进学生运算素养水平的提升，提高处理问题和解决问题能力等.

师：变式3对问题1中的椭圆进行一般化，探究一般性的结论.在变式4是在变式3的基础上，把直线l变为与椭圆相交的任意直线，这样就更具一般化，由于时间关系，大家回去可以自行探究，下一节课我们再让同学来展示探究结果.

设计意图:更具一般化的探究，尤其是涉及字母运算，对学生来说是极大的挑战，同时也是综合提升学生的数学运算素养的好素材.考虑课堂的时间成本，同时又可以让不同层次的学生得到充分的发展，因此给出变式3和变式4供他们课后探究、思考.下一节课通过展示探究成果激发学生的求知欲，全面发展学生的数学素养.

变式5 (2008·全国Ⅱ理21)如图1，设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

图1

(Ⅰ)略；(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值．

师：有关四边形面积最值问题，通常利用分割法转化为三角形面积最值问题，如果四边形的对角线相互垂直，其面积为两条对角线长度的积的一半，然后将面积最值问题转化为距离最值问题，如2016年高考全国Ⅰ卷理20题.本题给我们的启示是：解决一个复杂的问题可以通过合理的转化为一个基本的问题，问题是相互联系的.大家在审题时要善于剖丝剥茧，发现题目中的“蛛丝马迹”，然后将其联系起来作为解题的线索，最后将问题转化基本问题加以解决.

设计意图:为了让学生多题归一，进一步巩固上述研究方法和解题策略，将变式问题延伸到求两条直线与椭圆相交的四个交点所围成的四边形面积，因此得到变式5.通过对变式5的分析与解答，可让学生体会数学问题之间盘根错节的关系，加强知识横向联系，把散落的考题连成线、铺成面、织成网，凸显问题本质，让学生在“变”中理解“不变”的本质，进一步提高运算能力、处理问题和解决问题的能力.

3.4 高考链接

(Ⅰ)求E的方程；(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当ΔOPQ的面积最大时，求l的方程.

(Ⅰ)求M的方程；(Ⅱ)C,D是M上的两点，若四边形ABCD的对角线AB⊥CD，求四边形ABCD面积的最大值.

4.(2016·课标卷Ⅰ理20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

(Ⅰ)求C的方程，并说明C是什么曲线；(Ⅱ)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值.

设计意图:高考题是命题专家的智慧结晶，高考题不仅有很好的选拔功能，同时也有很好的教学功能，是教与学的好素材.因此有效利用、激活真题，针对训练，巩固所学，增强信心，训练思维，培育数学素养和发展数学素养水平.

4.教学思考

4.1 课堂是思想交流、思维提升的场所

古人云：学而不思则罔.其实数学的教学就是数学思维的活动.45分钟，时间宝贵，要尽量进行更高级更有意义的数学活动.教师的思考、教师的讲解代替不了学生的思维，因此，教师要精心设计，科学引导学生，营造和谐的学习的氛围让学生有更多安静思考和持续的思考的机会，让更多学生的想法得到充分的表达，让学生在探讨问题解决的思路与求解策略中思维得到训练，解决问题的智慧得到增长.课堂上，教师要做好充分准备，要相信学生，教师要多倾听学生的想法，学生更是要学会倾听老师和同学的观点和含义，最终要让“学生成是课堂的主体，教师是课堂的主导”真正落到实处.

本节课，首先给出一个核心但又很基础、较为简单的问题作为切入点，针对三角形的面积问题，让学生充分思考、表达自己的想法，每个解题思路学生都能体会、有共鸣，课堂氛围轻松、和谐，学生思维活跃，老师的话语不多，但取得实实在在的效果.

4.2 节奏慢一点，让学生多一点动手实践和展示的机会

古人亦云：思而不学则殆.教师的解答，个别优等生的展示，提升不了全体学生的数学能力，最终只能靠学生自己通过努力实践得到提升.人们常说，百听不如一见，百见不如一摸.“思”是“学”的出发点，“学”是“思”的落脚点，数学学习的理想状态应该是自己主动去思考问题并动手推理实践.只有亲身经历，动手实践才是最真实的体验.知识的理解只有在运用中深化，数学能力只有在解决问题的过程中得以提升，因此在明晰运算对象、理清解题思路的基础上，让学生自己动手解问题非常必要，非常关键.因此在教学过程中，节奏可以慢一点，让学生有更多思考的时间，有更多实践体验和展示的机会.解题思路虽然相同，但求解题策略也有所不同，通过展示、分享求解过程达到相互学习相互提升的目的.学习数学，不经历“山重水复疑无路”后的苦苦思索，怎能获得“柳暗花明又一村”的豁然开朗与心旷神怡，只亲历解题实践的人方可体会个中的酸甜苦辣，以及之后的回味无穷.

本节课，在理清解题思路之后，对每个解题思路每个学生都要动手解答，解析几何解答多动手，完整的解答很重要，对自己的想法或他人的好解法只有动手实践的体验才最真实.运算能力只有在解答中得到提升，在分享、交流中，优化解答策略，增长解题智慧.

4.3 学数学，需要持续思考

教师要保证学生有安静、独立和长时思考的机会，我国著名数学家陈省身先生认为：数学是自己思考的产物．首先要自己能够主动思考，然后与他人交换想法，这样的数学学习会有很好的效果…．学习数学只有“为伊消得人憔悴，衣带渐宽终不悔”的精神方能获得“慕然回首，那人却在灯火阑珊处”的体验.

本节课的各个环节学生都有充分的时间思考和表达、展示的机会.变式3和变式4是对问题1进行一般化的拓展，考虑课堂时间成本和思考的延续性，让学生课后动手探究，高考链接也是为学生提供在不同问题情境中思考问题、解决问题，训练思维和提升素养的机会.

5.结语

高考解析几何解答题的成功求解运算能力是关键.提升数学运算素养水平并非一日之功，需要持续思考、勤于动手实践.基于核心素养的课堂教学是以知识为载体，以培育和发展学生核心素养为课堂教学的出发点和落脚点.基于核心素养的课堂教学，需要教师充分了解学生，悉学生的成长规律，了解学生思维习惯，了解所教学生的认知区和最近发展区，选编出符合学生需要的课堂教学问题和变式题，还要求教师有较高的课堂驾驭能力等.基于核心素养的课堂教学向教师提出了更高的要求，我们只有不断地学习，了解教育教学前沿理论知识，深刻理解课改精神，熟悉课程标准与教材内容，熟悉高考命题规律，掌握命题技能，勤于实践善于反思，才能真正的有效开展“基于核心素养的课堂教学”教学实践，培育学生数学核心素养方可落地生根.