巧用多元表征探究数学本质——以一道高考经典问题为例

广东省东莞实验中学 (523120) 薛新建

1.问题的引入

《普通高中数学课程标准(2017年)》对于高中数学课程性质特别指出，“数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言”，数学课程承载着“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”这一重要使命.正确理解问题，用已有的知识去表征问题是解决问题的重要前提，而用不同的知识多角度表征解决同一问题，既是探索数学问题本质的需要，也是培养学生思维能力，实践能力和创新能力的重要途径.

表征是认知心理学中的一个重要概念，是指知识在学习者头脑中的呈现和表达方式，因此，对问题的表征，既取决于问题本身，又取决于学习者对问题的理解.常见数学问题的表征形式有文字表征，符号表征，图形表征和操作表征四种.同一种表征形式，由于采用的数学工具不同，又会形成多种方法.各种表征形式互有优劣，解题时可以把各种表征形式相结合并根据需要进行转换，形成问题的多元表征.

2.多元表征的相关理论

希伯特(Hiebert)和卡彭特(Carpenter)认为，一个数学概念或事实只有成为内部网络的一部分的情况下，才是真正被理解了.而理解的程度又取决于联系的数目和强度.喻平教授提出的CPFS理论表明，数学教学的重要任务是完善学生的概念域和概念系，命题域和命题系.概念或者命题之间的等值抽象关系，强抽象关系，弱抽象关系或者广义抽象关系等关系本身就蕴含着思维能力和创新能力，因此对一道题的多维度解读，深层次发掘，各种表征方式结合转化与互相比较，既是解决问题的需要，也是构建数学知识网络和完善数学认知结构必不可少的过程.

波利亚在解题表中的一些步骤，如在弄清条件和结论后，要追问自己：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？有没有和这个问题相关且早已解决的问题？你可以利用它的结果吗？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？这些问题都引导我们在面对一个新的问题时，应该从熟悉的知识中寻找思路并努力尝试用不同的方法，从不同的角度去表征问题，这对于问题的解决是非常有用的.

3.案例分析

分析：该题背景非常经典，即三角形中已知一角及其对边展开设问，相同条件背景分别在全国Ⅰ卷2011(第16题)，2012(第17题)，2014(第16题)，2015(第16题)，2016(第17题)，2017(第17题)反复出现，设问类型包括求三角形周长(或其最值)，求三角形面积(或其最值)，求边(或其线性组合)等各种变式.出镜率如此之高，究其原因，该条件背景有如下特点：(1)条件简单易于入手，可以考察学生基础知识，基本能力，基本思想方法和基本活动经验，符合高考试题基础性和一般性特点；(2)条件属于知识点交汇处，可以用解三角形，平面几何，解析几何，向量，参数方程，极坐标方程等不同模块的知识来表征解决问题，符合高考试题综合性和开放性特点；(3)该条件下，学生可以创建不同模型去刻画动量变化，又有足够的创造性空间可以给学生去发掘，符合高考探究性和创新性特点.正是基于上述特点，该条件背景能够在新课改从能力立意到素养导向的转变中长盛不衰.

下面以多元表征的视角来展开对该题的多维探究.

3.1 符号表征视角

符号表征是对问题中的元素及其关系符号化，以字母或者数学符号的形式予以表征，常见形式如方程(或等量关系)，不等式，函数解析式，向量(符号形式)，公式，定理等.该题条件就是以符号形式出现，因此，用符号形式表征问题是本题首选.而对于三角形中边角数量关系常用表征工具是正余弦定理，因此下述两种方法是最常见方法.

3.2 图形表征视角

图形表征是指对问题中的元素及其关系几何化或者图表化，以几何元素如点，线，面，角，几何体等，以及图形，图表，图象，框图，数轴(坐标轴)等直观形象地表征问题的方式.本题中涉及三角形的边和角的问题，这些都是几何元素，因此用图形表征解决该问题也是情理之中.

图1

图2 图3

3.3 多元表征视角

多元表征即根据题目条件，灵活运用多种表征形式，把文字表征的准确性，符号表征的简洁性和图形表征的直观性相结合，利用不同数学工具，形成灵活多样的解题思路.

图4

上述解法把问题转化成了直线与圆的位置关系的问题，主要侧重几何法，如果直线采用参数方程的话，则更加侧重代数法.

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4.案例反思及教学建议

在从多个角度，选用不同知识对同一道题目进行多元表征后，有如下总结和发现：

(1)多元表征的过程就是对问题思考和认识的过程.在表征问题的不同阶段，我们既会面临表征方式的选择与比较，也会面临表征方式的转化与结合.例如，表征4与表征5体现了探索C点轨迹的定义法和直接法，是相同思路下的不同方法，解题时既可以选择从数的角度去量化边角关系，也可以从形的角度去图化边角关系，量化严谨全面，图化形象直观，二者都可以刻画三角形边角之间的变化关系，究竟哪个更好一些？显然不能一概而论，要因题而异，因需而异.再如，在表征8中，先从图形表征发现，可以用直线交点去刻画A点位置，进而用符号表征从方程的角度去探索求解，是典型的解析几何解题的思路与方法，通过表征形式的及时转换结合达到最终解题的目的.

(2)多元表征过程中体现了多样的数学方法.本案例中就包含了建模法、换元法、图象法(坐标法)、比较法、向量法、构造法、参数法等方法.表征方法繁多的原因在于对边，角，顶点这些变量的选择性表征，角定边动就形成了表征3；边定角动就形成了表征4；围绕点B的运动变化展开思考就形成了表征6；围绕点A的运动变化展开思考就形成了表征8.可见不同表征形式的选择是出于解决问题的需要，是为了把问题着力点突出展示.

(3)多元表征过程中体现了丰富的数学思想.本案例中就体现了函数与方程的思想(表征1，表征2，表征8，表征9，表征10)，数形结合的思想(表征3，表征4，表征5，表征6，表征7，表征8)，转化与化归的思想(表征3，表征4，表征6，表征7)，特殊与一般的思想(表征3，表征4，表征6)等数学思想.数学思想的反复体验是发展学生学习能力，实践能力和创新意识的重要途径.

(4)多元表征的目的是为了发现问题的本质.诗云“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，一道美景，观察的角度不同会得到不一样的美的享受.同样的，对于一个数学问题本质的探究，也需要通过不同的表征形式对其刻画，才能更加客观和全面.例如本例中通过对十种表征总结发现，虽然表征问题的方法和思想多种多样，但最终落足点无非两种：要么找到三角形边与角的量化关系，要么找到符合题目边角条件的三角形.这二者其实就是该问题的代数与几何本质.

鉴于上述思考，我们对数学教学提出建议：重视多元表征的训练，既要有意识地在课堂预设中引导学生多角度表征刻画数学问题，也要注意课堂中多元表征思维的即兴生成；重视变式题组的训练，一题多变既是对问题全面理解的必要引导，也是数学知识结构构建最有效的途径；重视阶段性总结，章节总结与跨章节总结，知识结构的系统化与多元表征互为表里，相互促进，二者结合拓展了对数学知识理解的广度和深度.