2019年高考课标卷Ⅲ理科第21题的推广

贵州师范大学数学科学学院 (550001) 姜 文

2019年高考课标卷Ⅲ以全国教育大会精神为指导，认真贯彻“五育并举”方针，落实立德树人根本任务，突出数学学科特色，着重考查学生的理性思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力.试题突出数学学科核心素养导向，注重能力的考查，综合性和实用性较强.整套试题注重融入数学文化，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近学生生活，联系实际，在评价中引导数学教育落实“立德树人”的根本任务.其中，理科21题是一道质量较高的试题，它主要考查学生直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，难度适中.本文研究该题第(1)小题.

1.试题呈现

(1)证明：直线AB过定点；

2.试题解答

(2)略.

3.研究与推广

该题第(1)小题告诉我们一个事实，即过抛物线的准线上的任意一点作抛物线的切线，切点所在的直线恒过该抛物线的焦点.这是偶然还是必然？如果是必然，那么椭圆和双曲线是否也有类似的结论呢？笔者对此作了研究，得到如下性质.

性质1 过抛物线C:x2=2py(p≠0)的准线上的任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过C的焦点.

图1

圆锥曲线往往有对偶的性质，对于椭圆和双曲线，也有如下的性质.

图2

同理可知，若P为左准线上的任意一点，则直线AB恒过左焦点F1(-c,0).命题得证.

同理可知，若P为左准线上的任意一点，则直线AB恒过C的左焦点F1(-c,0).命题得证.

类似地，焦点在x轴上的抛物线、焦点在y轴上的椭圆和双曲线也有相同的结论，有兴趣的读者可以自证.