掌握解题规律,提升核心素养*——以解决多元最值问题为例

江苏省西亭高级中学 (226300) 瞿春波

近年来在各级各类考试中经常出现求解多元最值问题，这些问题字母多、式子繁、涉及知识面广、技巧性强，很多学生解答时思维受阻，导致得分率较低．笔者根据自身的教学实践和方法积累，同时以2019模拟试题为例，介绍解决此类问题的10种优化策略，供读者参考.

1.利用基本不等式

利用基本不等式求最值，关键在于“拆、拼、凑”，将条件式或待求式变形为“和或积”为定值.常见的变形技巧有转化符号、拆补项、配凑系数等.

点评:抓住待求式中分母可以分解为一次因式乘积的特征，对分母实施双换元，再利用“1”代换.当然，此题还可以通过消元，转化为一元函数解决.

点评:三角形与不等式交汇问题是近几年高考及模考常见题型，具有江苏卷特色，此类题的破解策略大致有转化为边、转化为角、建系等几种.

2.代入消元

若各变量之间存在某种关系，则将其中的某个变量用其余的变量线性表示，代入目标式，从而化为一元(单变量)函数，再求最值．

例2 (2019南通名师高考原创卷(二))已知正数x,y满足xy(x+2y)=2，则x+y的最小值为.

变式(2019南师附中高三上期中)已知实数x,y,z∈[0,4]，若x2,y2,z2，是公差为2的等差，则

3.整体换元

若已知(或待求)因式之间具有某种关系，则引入一个(或几个)新的变量，替换掉原先某些因式.常见的换元方法有比(倍)值换元、差值(增量)换元、单换元、双换元等.

4.三角代换

若条件式(或待求式)明显反映出三角函数式特征，则以三角函数为“元”，将原问题转化为三角问题，从而利用三角公式及三角函数性质解决.

点评:将切化为弦，利用正余弦定理，再将角化为边，经过变形，得到两个变量的平方和为“1”，于是三角换元(引入角参)，从而转化为三角问题.

5.判别式法

若条件式(或目标式)经过恒等变形后可以整理为关于某个变量的一元二次方程，则利用“一元二次方程根的分布”求解参数范围.

例5 (2019江苏海门期中)设a,b是两个正数，且a2b+3ab2=a-b，则b的最大值为.

点评:不难发现，此题条件为二元二次方程且“目标”是求参数b，于是将原方程看成关于a的一元二次方程，利用方程有正根解决.

6.数形结合

若条件式或待求式具有某种几何意义，则往往数形结合，如此处理直观明了，化难为易.

例6 (2019苏北四市高三下学期初模拟)

点评:此题难度不大，但得分率不高，与学生交流后，找到错因：(1)漏掉可行域中的一个对称区域；(2)错误认为待求式表示原点与可行域中“顶点”的距离平方.

7.多元配方

若条件式(或目标式)的结构中蕴含二次关系时，则优先考虑配方法[1].

例7 (2019浙江名校协作体联考)若正数a,b,c满足a2+b2+c2-ab-bc=1，则c的最大值为.

点评:以a为主元，配方；再以b为主元，再配方，利用平方的非负性，构造关于c的不等式.此题还可以将原等式先后转化为关于a和b的一元二次方程，利用根的分布(两次)解决.

8.转化主元

如果某个表达式中含有多个变量且无法消元时，可以将其中某个变量看成主元，其余变量看成常量逐步处理[2]．

例8 (2019届杭州高三上联考)已知函数f(x)=lnx-ax-b对任意的a<0,b∈R都存在x0∈[1,m]，使得|f(x0)|≥1成立，则实数m的取值范围为.

解析:由|lnx0-ax0-b|≥1，得b≤-x0a+(lnx0-1)，b≥-x0a+(lnx0+1)，将其看成关于a,b的二元一次不等式，则约束条件为

点评:此题利用绝对值性质去掉绝对值，通过转换主元(将a,b看成主元，x0看成参数)机智的避开繁琐的分类讨论，转化为线性规划解决.

9.待定系数法

将目标式用条件式结合必要的待定系数表示出来，再进行“技术”处理求出待定系数，将问题转化为研究新表达式的相关指标[1]．

例8 (2019浙江宁波模拟)已知实数x,y满足6x2+4y2+6xy=1，则x2-y2的最大值是.

10.构造向量

向量是沟通代数和几何的重要桥梁，也是解决非向量问题的“隐藏”工具，巧妙运用向量性质解题可以使思路“豁然开朗”．

变式(2019江苏如东高三期末)已知实数x,y满足x2+y2≤1，则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最小值为.(答案：5)

|3x+4y-10|=-(3x+4y)+10≥5.此题还可以根据条件中可行域，去掉待求式中两个绝对值，转化为线性规划问题，但计算繁琐，用时太多.

思维决定“行为”，思路决定“出路”，纵观上述破解多元最值问题的10种策略(尤其是策略8,9，10)，背景新颖、交汇性强、题型多变、策略多样，贯穿多个知识模块，渗透多种数学思想方法．这就需要解题时深挖隐含条件、细心观察条件式及目标式结构特征，从而找到解决此类问题的最佳路径.