例析两最值函数的应用

甘肃省陇西县第一中学 (748100) 王耀文

高二一次月考中，有一个填空题难住了绝大多数学生，命题者给出的参考答案也很复杂,我给学生认真分析此题后，认为此题应该考查函数max{f(x),g(x)}，教材选修4-5中出现过此类函数，通过分析学生并不陌生，事实上2015年全国Ⅰ卷理科、浙江卷理科也出现过此类问题，特别是由于浙江、上海率先进行新一轮高考改革，他们每年的高考试题备受广大师生的关注.因此笔者想通过一些考题简单分析max{f(x),g(x)}和min{f(x),g(x)}，以飨读者，不足之处，敬请指正.

1.考题呈现

2.链接高考

例1 (2015年浙江理科高考第18题)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.

(1)证明：当|a|≥2时，M(a,b)≥2;

(2)当a,b满足M(a,b)≤2时，求|a|+|b|的最大值.

简析：(1)当|a|≥2时，f(x)在[-1,1]上单调，∴M(a,b)=max{f(-1),f(1)}.显然：M(a,b)≥|f(-1)|且M(a,b)≥|f(1)|.即M(a,b)≥|1-a+b|且M(a,b)≥|1+a+b|.所以

2M(a,b)≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|(1-a+b)-(1+a+b)|=2|a|≥4,故M(a,b)≥2.

(2)略.

(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；

(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.

简析：(1)略；

3.链接教材

例4 已知a>0,b>0,且h=

4.链接竞赛

例5 对于每一个实数x，设f(x)是y=4x+1,y=x+2,y=-2x+4三个函数中的最小值，则f(x)的最大值为.

例6 (2018年全国高中数学联赛河南省预赛第5题)已知a,b,c均为正数，则

5.归纳总结

3.max{f(x),g(x)}≥f(x),且max{f(x),g(x)}≥g(x).

4.min{f(x),g(x)}≤f(x),且min{f(x),g(x)}≤g(x).

教师是落实核心素养教育体系的执行者，课堂教学是培育学科核心素养的主阵地，教材知识是提升核心素养的重要源泉.很多高考试题包括竞赛题都源于教材，因此我们教师要深入研究教材，充分发挥教材的作用.