一道模考题的探究*

安徽省宿州市砀山中学 (235300) 杜为荣 毛晓伟

圆锥曲线中的定点、定值问题的求解一直是自主招生、竞赛、高考命题的热点之一，命题角度广，备受命题者青睐.而且圆锥曲线中的定点或定值问题形式多样，花样翻新，要求较高，但其基本解法仍然有章可循，有法可依.下面以2019年我市二模的一道考题为例，抛砖引玉.

1.问题呈现

(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率；

(Ⅱ)过点F的直线交椭圆于A,B两点(直线不与x轴垂直)，已知点A与点P关于x轴对称，证明：直线PB恒过定点，并求出此定点坐标．

2.问题解决

点评：此解法是求直线恒过定点的通法，设直线方程y=kx+n，通过条件建立k，n之间的关系式，进而得到结论.此解法的难点是看出隐含条件A，F，B三点共线，利用向量共线或直线斜率相等都可以得到结果.

解法2：设直线AB的方程为x=my+2，A(x1y1)，B(x2,y2)，则P(x1,-y1).联立

点评：此法关键在于准确建立关于定点坐标的恒等式，根据恒等式成立的条件列出定点坐标所满足的方程或方程组去求解.

点评:此解法为探点法或为先猜后证法，通过特殊点，对称性确定所求直线恒过定点，在进行证明，这为解题指明方向且在运算过程中大大减少计算量.

3.问题探究

波利亚曾说过：“没有一道题目是彻底解决完的”.当我们做完一道题目后，我们除了可以研究它的解法以外，更要从纵向，变式，横向等角度出发，对这道题目进行拓展探究，从而得到一系列有价值的结论，这既是对原问题的深化与拓展，也是培养学生创新能力的高效途径.

3.1 纵向探究

本题过焦点F，可得直线PB恒过定点，若把定点改为x轴上任意一点呢，那么直线还恒过定点吗？可得以下结论：

点评：①利用解法1亦可证明.②本题解法是采用解法2思路，但是用y表示x，进而得到直线恒过定点.

3.2 变式探究

在一个背景下，交换部分条件和结论，或给出某个问题一般结论的特例，便生成一道新题.故笔者又做如下探究：

3.3 横向探究

椭圆与双曲线、抛物线“同宗同源”，那么双曲线、抛物线是否具有上述类似的结论吗？回答是肯定的.

结论7 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过x轴上一点M(t,0)(0

结论9 已知抛物线C:y2=2px(p>0),点A，B为抛物线上的任意两点，点P与点A关于x轴对称，且直线PB与x轴的交点N(-t,0)(t>0)，则直线AB恒过定点M(t,0).

(对于结论2到结论9，由于篇幅有限，故有兴趣的读者自行证明.)

4.探究感悟

4.1 重视解法，拓展思路

高考圆锥曲线题目最为显著的特点是从不同的思路分析，可以获得不同的解法，通过多解探究，有利于拓宽解题思维，提升解题技能，在引导学生对不同解法进行对比分析，从中得到最优解法，在反思总结中提升解题能力，培养学生学习数学的兴趣.

4.2 注重探究，发现本质

在新课程所倡导的“多样性，交叉性，纵向不深，横向拓宽”的解题要求背景下，对于我们一线教师在教学中适当的对试题进行变式探究，横向探究，纵向研究，通过对试题的探究，发现试题不变的本质，从不变的本质探究变的规律，只有这样才能使解题更具体，更有深度，更有广度，才能让学生感受到数学解题是言之有理的，正所谓“岁岁年年题不同，年年岁岁题相似”.