一类数列不等式的命题背景探源及推广

浙江省台州市玉环中学 (317600) 姚必巍浙江省嘉兴市第一中学 (314050) 沈新权

近年来全国高中数学联赛各赛区预赛试题和浙江省各地高考模拟题中，很多数列不等式问题都是在定积分背景下命制的，我们以此为载体对该类试题的命制手法进行研究，并基于此手法进行一些新题的命制.

一、引例

分析一：为了证明结论，我们可以先考虑anbn的范围，再利用基本不等式求出an+bn的取值范围，进而证明结论.

分析二：如果直接求an+bn的取值范围，我们也可以把(1)，(2)两式相加.

分析三：如果把(1)中的bn用an来表示，(2)中的an用bn来表示，则就可以用分析二的评注中的结论来证明.

二、命题背景探源及推广

分析二评注中的结论其实是求和的结果，从高等数学的角度来讲就是定积分的背景，因此借助定积分的知识，通过对f(x)及bn的不同取值，我们可以得到上述问题的命题及推广.

图1

利用定积分的思想方法，我们得到引例的第四种证明方法.

图2

证明：如图2，SAiAi+1Ci+1Bi=(ai+1-ai)f(ai)=bi.

三、类题研究

研究发现，2016全国高中数学联赛山东赛区初赛第14题和辽宁赛区第12题都可利用此方法证明.

解法一:当k=1时，a0=1，不成立；

了解了定积分的几何意义和牛顿—莱布尼茨公式，我们发现这类试题也迎刃而解，且借此手法还可以进行新题的命制.

四、新题命制

命题1 已知数列{an}满足a1=0，ln(an+1-an)+an+nln2=0(n∈N*)，

(1)求证：ln(2-21-n)≤an≤1-21-n；

(2)是否存在正实数c，使得对任意的n∈N*，都有an≤1-c，并说明理由.

(1)解法一：由题意得an+1=an+e-(an+nln2)，所以an+1>an，an≥0，则an+1=an+e-(an+nln2)≤an+e-nln2=an+2-n，所以an≤an-1+2-(n-1)≤an-2+2-(n-2)+2-(n-1)≤…≤a1+2-1+…+2-(n-2)+2-(n-1)=1-21-n，令f(n)=ean+21-n-2，则f(n+1)-f(n)=(ean+1+2-n-2)-(ean+2-(n-1)-2)=ean+1-ean-2-n=ean(ee-(an+nln2)-1)-2-n>eane-(an+nln2)-2-n=0，所以{f(n)}是递增数列，从而f(n)≥f(1)=0，即ean+21-n-2≥0，所以an≥ln(2-21-n).综上，ln(2-21-n)≤an≤1-21-n.

①当n=1时，ln(2-20)≤a1≤1-20.

由数学归纳法知ln(2-21-n)≤an≤1-21-n.