同根同源，一脉相承——椭圆、抛物线一个等角性质的考题综述

福建省莆田第五中学 (351100) 陈益周

2018年高考数学全国卷Ⅰ理科试题题19、文科试题题20，又一次涉及椭圆、抛物线的一个等角性质.至此，已有一系列试题在近年来的高考中出现.真是同根同源，一脉相承！

一、性质：同根同源

这一系列高考试题，尽管形式有所变化，但都是源自如下的椭圆或抛物线的“等角”性质：

性质2 (1)设抛物线C：y2=2px(p>0)，点M(m,0)，N(n,0)(n>0)，过点N不与坐标轴平行的直线l与抛物线C交于A、B两点.则∠NMA=∠NMB的充要条件是m+n=0.

(2)设抛物线C：x2=2py(p>0)，点M(0,m)，N(0,n)(n>0)，过点N不与坐标轴平行的直线l与抛物线C交于A、B两点.则∠NMA=∠NMB的充要条件是m+n=0.

(2)设直线l的方程为y=kx+n(k≠0).代入椭圆C的方程得b2x2+a2(kx+n)2-a2b2=0,整理得(a2k2+b2)x2+2a2knx+a2(n2-b2)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),据韦达定理得x1+x2=

二、试题：一脉相承

以上述椭圆或抛物线的“等角”性质为理论依据，在近年来一系列的高考试题中频频出现，有的直接引用，有的稍加改造变形，可谓一脉相承，万变不离其宗.

图1 图2

例3 (2018年高考全国卷Ⅰ文科试题题20(Ⅱ))设抛物线C：y2=2x，点A(2,0)、B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M,N两点.(Ⅰ)略；(Ⅱ)证明：∠ABM=∠ABN.

评注：(1)当l与y轴平行时，AB为线段MN的垂直平分线，有∠ABM=∠ABN;(2)当p=1,m=-2,n=2时，m+n=0.由性质2(1)的充分性即得此题.

例4 (2013年全国高考陕西卷理20(Ⅱ))已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8,，(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程；(Ⅱ)已知点B(-1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同两点P,Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点.

评注:(1)答案：(Ⅰ)y2=8x；(Ⅱ)直线l过定点(1,0);(2)当p=4,m=-1时，由性质2(1)的必要性得n=1,进而得定点(1,0).

例5 (2010年高考全国卷Ⅰ理科试题题21(Ⅰ))已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K(-1,0)的直线l与抛物线C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(Ⅰ)证明点F在直线BD上；(Ⅱ)略.

评注:在性质2(1)中，当p=2,m=-1时，由性质2(1)的必要性得n=-m=1.进而得点(1,0),即直线AB点过点(1,0).

评注:(1)答案：(Ⅱ)存在定点P(0,-a)满足条件)(注：当l与x轴平行时，点P(0,-a)也满足条件;(2)当p=2,n=a时，由性质2(2)的必要性得m=-a,进而得点(0,-a).

另外,经适当改造变形的有：

在性质1(1)中，可以证明：∠NMA=∠NMB(A、B同在过点N的直线l上)⟺点A在椭圆C上，则点B必在椭圆C上.特别地，当a2=4,b2=3,n=c=1,m=4时，mn=4×1=a2.性质1(1)的充分性即为2008年全国高考福建卷文科试题题22(Ⅱ)(1)的结论：

在性质2(1)中，∠NMA=∠NMB⟺点N到直线MA的距离=点N到直线MB的距离⟺以点N为圆心且与直线MA相切的圆必与直线MB相切.特别地，当p=2,m=-1,n=1时，m+n=0.性质2(1)的充分性即为2015年全国高考福建卷文科试题题19(Ⅱ)的结论：

如图2，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且|AF|=3．(Ⅰ)求抛物线E的方程(答案：y2=4x)；(Ⅱ)已知点G(-1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

三、启示：追根溯源

以上一系列的高考试题均以椭圆或抛物线的这个等角性质为理论依据，尤其在2018年高考全国卷Ⅰ的文、理科试题中联袂登场！足见命题者对其情有独钟偏爱有加.正如著名数学教育家陈振宣先生所言：“圆锥曲线是一个十分古典的研究对象，人类已经探索了两千多年，今天仍有迷人的性质被人发现，真是令人感到兴趣盎然.”上述现象留给我们的启示是：面对一个个数学问题，不应仅满足于会解和孤立的就题论题，要透过现象揭示本质，要纵横联系追根溯源，使知识和方法成线成片，形成一个有机整体.只有这样，才能在解题时做到左右逢源，得心应手，驾驭自如.