以“小切口”开拓“新视野”*——一道课本例题的思考与拓展

福建师范大学数学与信息学院 (350108) 方 莹 李 祎

1.思考缘起

在参加一次习题课的公开活动时，授课教师讲解了现行普通高中人教A版教材必修四第三章“简单的三角恒等变换”P141的一道例题，题目如下：

图1

在听课过程中，笔者不由得产生了这样的思考：对于扇形内接矩形问题，学生要直接想到将∠COP=α作为自变量并不容易，隐藏掉题目中∠COP=α的信息后，学生能否恰当地选取变量？如何将此题进行拓展教学？进一步拓展后会产生怎样的教学效果？

基于以上思考，笔者在去掉题目中的部分信息后，试以波利亚解题思想为指引，把问题解决过程分为“提取信息，作图表示”、“寻找联系，达成衔接”、“实施计划，处理难点”、“回顾反思，总结方法”四个步骤，并以问题串的方式启发学生对例题展开深入探讨，从而充分发挥和利用课本资源的教育价值．

2.问题解决

2.1 提取信息，作图表示

问题：你能概述题目中的信息吗？请你用几何作图的方式将它描绘出来．

预设：此题的条件较为清晰，学生能够依据题意画出对应的图形．但是学生可能会忽略矩形的两个顶点都在弧上的情形，教师可以因情况对学生做出提示，引导学生得出以下几组几何图形：

图2 图3 图4

设计意图：通过学生自主审题画出相应图形，有利于培养学生问题表征的能力和数学抽象素养，体会几何图形在解决几何问题中的重要作用．

图2与图3本质上是相同的．下面先选取较为简单的图2作为对象着手进行研究．

2.2 寻找联系，达成衔接

问题：有哪些变量与矩形面积之间具有函数关系?请小组讨论交流，找出这些相关变量．

预设：学生通过观察图形，能够直观地从点的位置变化、矩形边长的变化以及弧长变化的角度，发现它们与矩形面积之间的函数关系，初步产生解决这个问题的3种不同思路．

设计意图：要建立模型，首先要分析问题确定相关变量，在寻找相关变量的过程中探究函数模型建立时变量的选取方法，有利于培养学生的直观想象素养，提升学生观察问题和分析问题的能力．

2.3 实施计划，处理难点

思路1：从点的位置变化角度建立矩形面积的函数模型.

问题1选取哪个点研究最合适？由点的位置，你能想到什么？如何用点的位置来刻画矩形面积的大小？

问题2在有多个变量的情况下，如何求出矩形面积的最大值？

预设：可找出C点横纵坐标的关系，减少变量个数，建立函数关系模型S=f(y)或S=f(x)．

问题3C点的横纵坐标之间有什么联系？你是否利用了题目中的全部条件？从未用的条件中，你能获得什么启发？

预设：题目中的“半径为1”以及“圆心角”这两个条件，蕴含了该扇形是圆的一部分的隐含条件，从而学生可以自然地分析出C点的横纵坐标之间满足x2+y2=1的关系式．

问题4你能通过以上分析，求解得出矩形的最大面积吗？试着写出来．

预设：通过提示，学生能够联想到cos2θ+sin2θ=1，并用换元法令y=sinθ，从而将问题转化为求

问题6θ是指哪个角？它的取值范围是什么？你能具体说明吗？

设计意图：通过7个具有启发性的问题提示语引导学生不断地将已有的相关知识经验运用到现实的问题解决中去，建立已知与未知之间的联系，从而获得解决问题的途径，逐层化解难点，实现问题系统到稳定系统的成功转化．在解题过程中，培养学生的逻辑推理素养，给学生以“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的解题体验，从而激发学生的求识欲，调动学生学习的主观能动性．

思路2：从矩形边长变化角度建立矩形面积的函数模型.

问题设矩形的边长AB为x，BC为y，要求S=x·y的最大值，还需什么条件？如何建立这两条边长之间的关系从而减少变量？

设计意图：帮助学生掌握分析问题的一般思路，让学生经历直观感知、观察发现等思维过程，最终建立矩形边长之间的关系，得到相应的函数模型．

思路3：从弧长变化角度建立矩形面积的函数模型.

问题2你能从前两个求解思路中获得什么启发？试着建立并求解该模型．

设计意图：引导学生应用化归与转化思想，将弧长问题转化为熟悉的角度问题，从而化简难点，进而打开解决这个问题的新视角．

2.4 回顾反思，总结方法

(1)纵观以上几种解法，你有什么发现？

(2)此题的关键点是什么？各个难点是如何处理的？其中蕴含了什么思想方法？

(3)为什么你没有察觉到问题解决的突破之处？

(4)你认为有哪些解题经验可以作为今后解决问题的参考？

设计意图：趁学生头脑中对解题体验的新鲜感还未褪去时，引导学生抓住这个最佳的反思时机，回顾自己解题的历程，从中获得更多对解题的体验和方法的收获．以免留下“深入宝山而空手返”的遗憾．

3.思维提升

问题1对于图4的情形，你能求出其内接矩形的最大面积吗？从图2的情形中你能获得怎样的启发？

图5

问题2你还能提出其他有关的数学问题吗？

设计意图：例题教学不应仅满足于学生“学过、学懂”，而要让学生学会“活用”知识．通过变式拓展的方式，将学生从思维的束缚中解放出来，促成学生探究意识和问题意识的发展，培养学生的创造性思维、发散性思维，发挥其首创精神，促进深度学习．

从以上教学过程不难看出，上述几种求解思路尽管本质相同，最终经过化简可变为相同的表达式，但观察问题的视角不同，所辐射的知识范围也不尽相同．通过这道课本例题的拓展探究，有利于培养学生的数学抽象素养、直观想象素养、逻辑推理素养及数学运算素养，能使学生从中感悟到数学知识背后的化归与转化思想、函数与方程思想和特殊与一般思想．

总之，为了充分开发教材的教学价值，发挥课本例题的重要的教育功能，教师要立足课本，将先进的教学理念渗透到例题的教学过程中去，以发展的眼光看例题，以育人的视角教例题，以批判的思维审度例题，摒弃以往“就题讲题”的传统例题教学方式，以具有启发性的问题为指引，从而达到启智悟道、以诱达思的目的，引领学生向新的发展区迈进．