巧妙换元，化繁为简

江苏省溧水高级中学 (211200) 方金宝

高考命题从知识立意，到能力立意，再到素养立意，经过了多年的历程.知识立意背景下以陈述性知识为背景，考查“是什么”的问题；能力立意背景下以程序性知识为背景，考查“怎么做”的问题；素养立意背景下以策略性知识为背景，考查“思想方法”的运用.因此数学思想和方法才是数学的灵魂，掌握一种方法比做大量的习题更为重要.换元法是一种重要的数学思想方法，在中学里有着广泛的应用.换元法就是指在解题时把某个式子看作成一个整体，利用一个变量去替换它，通过换元来使问题变得简单，易于求解的方法.本文就举例说明换元法在高中数学中的常见应用，希望对大家有所启发.

1.三角换元

三角恒等关系式sin2θ+cos2θ=1体现了同角三角函数间的一个定值关系，在解题中若能利用平方和为1这一恒等关系，可以巧妙的进行换元，从而达到化繁为简.

例1 (2019届南京市二模第14题)在ΔABC中，若sinC=2cosAcosB，则cos2A+cos2B的最大值为．

分析：由sinC=2cosAcosB变形可得到tanA+tanB=2,所以要求cos2A+cos2B的最大值就需要把余弦变成正切，因此联想到把分母的1用sin2A+cos2A和sin2B+cos2B换掉即可.

解：∵A+B+C=π,sinC=2cosAsinB,∴sin(A+B)=2cosAsinB.∴sinAcosB+cosAsinB

=2cosAcosB，即tanA+tanB=2,∴cos2A+cos2B

2.基底换元

图1

3.整体(部分)换元

图2

例4 设正实数a,b满足a2+2ab-3b2=1,则a2+b2的最小值为．

分析：a2+2ab-3b2=1可分解成两个一次因式，令其中一个为t，转化为关于t的函数来处理.

4.和差换元.

众所周知，对于任意两个实数x,y，总存在实数a,b,使得x=a+b,y=a-b.利用这个简单的换元，在处理一类三角问题中，常常能化难为易，使解题过程简便易行.

分析：本题条件a+c=2b可以利用正弦定理化为角A、B、C的正弦值，本题要求sinB，若直接把A、C用B表示则不是很方便，这里式子的结构也很对称，所以这里可考虑把A、C用另外的变量去换元.

通过上述例题可以发现，换元法可以让式子结构由复杂变简单，更易于求解；让参与演算的变量个数减少，更易于演算；让数学式子的结构特征更明显，更易于使用公式；让变量之间的联系由孤立变统一，更易于联系；让数学思维由模糊变清晰，更易于思考.因此灵活运用换元法来解题也是高中生必备的一项能力.在换元法的习题课教学过程中，我们老师不但要用换元的思想去揭开题目的庐山真面目，还要带领学生认真领会由繁至简的数学本质，只有这样才能提升学生掌握巧妙换元，化繁为简的能力.