指对数不等式在导数压轴题中的应用

江西省宜丰中学 (336300) 晏伟峰 赖仁定

在数学解题中我们常用到两个不等式ex≥x+1和lnx≤x-1,而导数与以上两个指对数不等式的证明问题是高考的热点问题.本文结合实例,分析此类不等式的解题方法,以期抛砖引玉.

例1 (2019宜丰中学期末试题)已知函数f(x)=lnx-ax+1,g(x)=x(ex-x).(1)若直线y=2x与函数f(x)的图像相切,求实数a的值;(2)若存在对任意x1∈(0,+∞),x2∈R,使f(x1)=g(x2)=0,且x1-x2>1,求实数a的取值范围;(3)当a=-1时,求证：f(x)

解析：(1)(2)略;(3)要证不等式f(x)≤g(x)+x恒成立等价于证明lnx+10,可用下列三个证法.

证法一：∵ex≥x+1⟹xex≥x(x+1)=x2+x,又lnx≤x-1即x≥lnx+1,∴x2+x≥x2+lnx+1.∴xex≥x2+lnx+1.由于对数不等式和指数不等式的等号不能同时成立,∴xex>x2+lnx+1.

证法二：∵lnx≤x-1⟹lnx+1≤x⟹lnx+1≤x·1≤x·(ex-x),∴xex≥x2+lnx+1.由于对数不等式和指数不等式的等号不能同时成立,∴xex>x2+lnx+1.

例2 (2019江西师大附中月考题)已知函数f(x)=ax+lnx+1.(1)若a=-1,求函数f(x)的最大值;(2)对任意x>0,不等式f(x)≤xex恒成立,求实数a的取值范围.

例4 (2019年江淮十校联考题)已知函数f(x)=x(e2x-a)-lnx,若f(x)≥1在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是( ).

A.(-∞,e-1]B.(-∞,e-1)

C.(-∞,2]D.(-∞,2)

解析:此题和例2本质上是同一题,易得选C.

由上述实例可见，指对数不等式在此类导数压轴题型求解中起到四两拨千斤的作用,为学生的解题赢得了宝贵的时间.