立足函数性质背景 确定数列问题求解方向

江苏省海门中学 (226100) 徐巧石

在高三的复习教学中教师如果能够剖析命题者出题的本源，有利于学生理清解题的方向，提升学生的思维品质.数列作为特殊的函数，数列的函数背景常常作为命题者的出发点.本文从具体实例出发，谈一谈如何从函数性质背景中确定数列问题的思考方向.

一、单调性与新定义数列

反思：该题有两个关键点:(1)利用单调性确定an+|an+1-an+2|项数，进而确定等差数列；(2)是利用等差数列是关于n的一次函数形式，An(A≠0)不可能恒在两个确定的数之间，因为An(A≠0)不存在上界或下界，要成立只能A=0.

二、单调性与分段子数列

1.分段子列为等差数列

例2 (2018南通一模节选)若数列{an}同时满足：①对于任意的正整数n，an+1≥an恒成立；②对于给定的正整数k，an-k+an+k=2an对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{an}是“R(k)数列”.若数列{bn}是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b3p-3，b3p-1，b3p+1，b3p+3成等差数列，证明：{bn}是等差数列.

分析：由已知bn-3+bn+3=2bn可知子数列{b3n-2},{b3n-1},{b3n},n∈N*分别为等差数列，再由单调递增可得b3n+1≤b3n+2≤b3n+4恒成立，又可转化为B2

解：由题意可得bn-3+bn+3=2bn，则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b3，b8，…是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3.因为bn≤bn+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，所以n(d2-d1)≥b1-b2①，n(d2-d1)≤b1-b2+d1②.

若d2-d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2.同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d.设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=λ，则b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-(b3p+1+(n-p-1)d)=b3p-1-b3p+1+d=d-λ.同理可得b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ，所以bn+1-bn=d-λ.所以{bn}是等差数列.

反思：解决此题两个关键：(1)根据新定义确定子数列；(2)由单调性确定B2

2.分段子列为等比数列

例3 (2019海安期末)已知数列{bn}满足：

(ⅰ)对任意的n∈N*，0

分析：由新定义确定子数列{b4k-2},{b4k-3},k∈N*为等比数列，再由单调性得b4k-3≤b4k-2≤b4k+1恒成立，转化为B1

反思：此题第一考查的是数列中的两项乘积成等比数列，则存在相应的子列为等比数列，运用等比数列的定义可证明；第二考查的是形如B1B2或B1>Aqn指数型不等式，找到不满足条件的n.

3.分段子列为等差与等比

分析:等差数列与等比数列相邻排列，由指数函数增长的速度大于一次函数可知必存在等比数列的某一项超过等差数列相应的项，所以m有最大值,确定m的最大值只需确定何时公比q不存在，涉及到比较无理数的大小，构造函数证明.

变式(2011江苏)设1≤a1≤a2≤…≤a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是.

反思：将等差与等比的每一项交错排列，由于等差与等比数列均递增，又等比数列的增长呈指数型增长，等差数列呈直线型增长，所以必然存在某一项不满足条件，命题立意点就在此.

三、最值与新定义数列

1.最大项与最小项构造等差数列

分析：由定义可分析出Mn≥Mn-1，mn≤mn-1，且两个不等式中至少有一个取等号，从数列{bn}的公差正负确定{bn}的单调性，利用Mn≥Mn-1，mn≤mn-1，确定数列{an}的单调性，得出Mn,mn与an的关系.

2.最大项与最小项构造等比数列

分析：同例5可知，kn≥kn-1，rn≤rn-1，且两个不等式中至少有一个取等号，从数列{bn}的公比与1的大小确定数列{bn}的单调性，利用kn≥kn-1，rn≤rn-1，确定{an}的单调性，得出kn,rn与an的关系.

反思：上述两例最重要的是结合最值的定义与数列的特殊性得出Mn≥Mn-1，mn≤mn-1，且两个不等式中至少有一个取等号这一重要性质，进而确定从{bn}的单调性上突破，即考虑公比与公差，得到解题方向.

四、单调性与最值确定数列

反思：各项均为正数的等比数列的通项公式呈指数型，结合指数函数图象，若数列递增则无上界，若数列递减则无非零下界.

结语：在高三的教学中，作为教师在讲解压轴题时不能简单的照着答案讲解.教师应该关注命题的背景，以及解题思路如何获得.唯有如此，讲解压轴题才有价值，学生的逻辑推理等核心素养才得到提升.