安振平老师的博客中两个不等式证明

陕西省绥德县绥德中学 (718000) 王 炜

问题4737 已知x、y、z≥0，xy+yz+zx=1，求证：2(x2+y2+z2)+5xyz+6≥5(x+y+z).

证法一:设s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2,只需证明：2(s2-2)+5p+6≥5s等价于5p≥-2s2+5s-2(1).

综上所述，原不等式成立.

综上所述，原不等式成立.

证法三:记s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2,只需证明:2(s2-2)+5p+6≥5s⟺5p≥-2s2+5s-2⟺5p+(s-2)(2s-1)≥0(2).

当s≥2时，(2)成立.

问题4738 已知x、y、z≥0，xy+yz+zx+xyz=1，求证：2(x2+y2+z2)+2xyz+6≥5(x+y+z).

综上所述，原不等式成立.

综上所述，原不等式成立.

证法三:设s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2(1-xyz),只需证明

2[s2-2(1-xyz)]+2xyz+6≥5s⟺6xyz≥-2s2+5s-2⟺6xyz+(s-2)(2s-1)≥0(2).

当s≥2时，(2)成立.