学习进阶：从“智学”走向“自慧”的应然之径*

江苏省宜兴市丁蜀高级中学 (214221)

周 军

数学教学应立足学生的认知基点，遵循学生的心理发展机制和个性化学习差异，因材施教，循序渐进.这正是学习进阶理论所倡导的序列化、精致化、高阶化的思维教学愿景.教师在课堂教学中应挖掘数学本质及数学教学的价值，精心搭建引领学生从低层次思维向高阶思维演进的“脚手架”，合理把控数学知识的演进序、学生认知心理的思维序、教学时空拓展的推进序，真正还原数学教学的本真价值:让学生获取生存、生活和适应社会发展的智慧.这样才是回归“人本”的，才是“育化生命”的，才是对教育价值的最高领悟.

现实的教学过程中，囿于高中数学课时安排紧张，部分教师依然执着于“题海战”、“应试观”和“循环练”，忽视学生的个性差异，缺乏方法层面的指导和思想价值的提炼，课堂的话语权始终被教师掌控，学生缺少深度学习的活动体验，因此，“学而不懂”、“懂而不会”、“会而不快”的现象屡屡呈现.那么，怎样设计教学路径，怎样激活学生智慧学习进而自育慧根理应成为数学课堂教学研究的一个亟待开展的课题.一节精准有序的高三二轮微专题复习课能让我们耳目一新，为我们开启思维进阶的智学模式指明方向.无锡市教学能手黎明老师执教的“多元变量的最值问题”就是这样一个优质的课堂范式.

1.教学实录

涉及“多元变量”的最值问题是近年来各地模拟考试和高考中的热门考点，这类问题形式多变，综合性强，能有效甄别学生的思维层级，能激发学生自我挑战的意识，能培养高品质的关键能力.问题解决的策略一般有：函数与方程思想、不等式思想、换元思想、化归思想、数形结合思想等.这些策略的背后蕴含着高中数学主干知识的重要脉络，渗透着可迁移、可拓展、可推广的数学思想方法，育化着可持续发展的数学核心素养.教师的角色定位于教学时空的设计者，思维进阶的奠基者，习得价值的评价者，其任务在于追溯数学本质，培养理性思维，助力深度发展.黎老师正是凭借独特的教学智慧，成就了一堂既“烧脑”又“溢趣”的微专题复习课，

片段1

黎：学习上，我们要培养“瞻前顾后”的好习惯，千万不能“喜新厌旧”哦！

(众生笑，气氛热烈.)

黎：当遇到新问题的时候，要善于联系已经学过的知识.请大家思考以前的哪些内容涉及多元变量的问题？

生1：线性规划.

生2：基本不等式.

生3：三角形中三角函数.

……

黎：非常好！从同学们的回答中可以提炼出一个重要的观点：用联系的视角看问题，才能更系统，更深刻.下面，我们就沿着这样思路，开始今天的探究之旅.先看一下课前热身的两个小题.

题1 设x≥0，y≥0且x+2y=1，则2x+3y2的最小值为.

题2 已知正实数x，y满足xy+x+y=3，则x+y的最小值为.

黎：大家已经作了预习，下面请位同学来谈谈解决方案.

黎：解题过程中是否存在忽略的细节呢？

黎：很好，观察敏锐，思维严谨.(追问)你觉得题1的解法依据是什么？

生5：通过消元，转化为一元函数求最值.

黎：不错！这就揭示了多元变量问题的第一个关联对象——函数.那么，题2解法的依据又如何呢？

生6：用基本不等式构建不等关系求最值.

黎：很好！呈现了等与不等的转化，揭示了多元变量问题的第二个关联对象——不等式.

设计价值评析：监测学生的认知基础和思维起点，暴露学生的迷思概念，通过适时追问、元认知提示语、比较辨析，引导学生不仅关注“渔鱼之术”，更要洞悉“渔鱼之道”.同时，从方法论的层面揭示了多元变量最值问题的两个转化走向，为后续的深入探究开启生长空间.

片段2

探究1：(2011浙江)设x，y是实数，且4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为.

黎：这是浙江省的高考题，典型的多元变量最值问题，入口宽泛，内涵丰富.请大家依据自己的经验寻求突破口.

(学生若有所思，跃跃欲试.)

黎：回答很流畅！你是如何思考的呢？

黎：观察入微，分析透彻，给你点赞！从结构的视角审视条件与目标的关系，通过转化，导通思维路径，达成目标，这是分析和解决问题的重要能力，需要有意识培养.下面，如果改变结论：求3x+y的最大值，又该如何处理呢？

(学生沉默，面露纠结之色.)

黎：刚刚的方法还适用吗？

生8：不能用了，结构上的联系似乎没有了.

生9：考虑将条件式消元后代入目标式转化为一元函数求最值，可是不会消元了.

黎(追问)：你觉得为什么无法消元？可以跟前面的题目做个对比.

生9(思索片刻，恍然大悟)：我明白了！前面的题条件中变量x，y各自的指数统一，可以用一个变量表示另一个变量，而本题条件中x，y各自的指数明显不统一，所以无法通过变量分离来消元.

黎：很棒！问题的症结分析得很到位.看来，消元之法是没用武之地喽！老师也没什么好办法了(无奈地笑)，你们还有高招吗？

生10：平时我们习惯于将条件式变形代入目标式消元，这次反过来，可以考虑将目标式代入条件式处理.

黎：你的想法很有创意！具体说说怎么做？

生10：先目标式换元，令3x+y=t，则y=t-3x，代入条件式得10x2-5tx+t2-1=0，后面怎么处理，还没想好.

黎：生10的问题，可能也是大家在纠结的.其实，他通过换元、消元得到的不再是函数，而是一个方程.关键在于搞清变量x和t的角色定位，主元意识很重要，由于t是待求的，视为参数，那么x理应为主元，随即转化为一个关于x的一元二次方程有实数解的问题，用Δ≥0轻松解决.

黎：请大家回忆一下，以前的学习中有没有类似的研究经历？

(一石激起千层浪.学生下意识地相互讨论、辨析.)

生11：条件是一个二元二次方程，如果没有xy这一项，就表示椭圆的标准方程，现在多了这一项，我猜还应该是椭圆.目标是一个二元一次方程，含有参数t，表示一组平行直线.这样问题就可以转化为直线与椭圆的位置关系问题，那么刚刚的解法就很合理了.

黎：视角转换得很漂亮！从几何背景追溯问题的本源，有助于思维的可视化.这样多元变量的另外两个关联对象：方程和几何图形，很自然地浮出水面.刚才生11大胆猜想条件表示椭圆，是有道理的，可以用坐标变换去验证——发生旋转的椭圆，他的这种创新意识值得大家学习.

黎：对于4x2+y2+xy=1，如果去掉xy，求3x+y的最大值，是否很熟悉呢？在哪里遇到过？

生12：附加题中经常做，可以用三角换元.

黎：很好！此题能否类比操作呢？

黎:精彩！此处应有掌声.通过配方，变形为平方和为常数的形式，依据sin2θ+cos2θ=1进行换元.至此，三角函数也成为多元变量的重要关联对象.

设计价值评析：学习进阶理论强调为学生的思维演进搭“阶”，帮助学生的认知从单向走向多维，从线性走向立体，从碎片化走向系统化.教师在学生的最近发展区设问，通过一题多解，一题多变，一题多思，固化通性通法，构建思想模块，明辨疑难症结，强化理性思维.更值得一题的是，在重要的思维节点，浓墨重彩，甚至不惜稚化思维，以期激发学生的探究欲望，从而达成师生的思维同频共振，也促进学生的数学核心素养自主、自觉、自然地形成.

片段3

黎：对于这道高考题，大家的直觉思维是什么呢？

生14：减少变量，多变量最好转化为单变量.

黎：看来，减元是硬道理！那么，如何减，还是要讲策略的，请大家思考一下.

黎：很好！可否消去x或z呢？

生15：应该也行，不过对于分式，将分子变复杂比分母变复杂容易处理.

黎：观察敏锐！这就体现了运算的简约化.下面，通过两个变式进一步感悟减元的常见策略.

变式2：已知实数a，b，c，满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则实数a的最大值为.

(学生分组讨论，练习尝试.)

黎：请两位学生代表，解说你们的研究成果.

黎：这里用到不等式放缩消元以及齐次分式整体化消元的策略，请大家细心积累经验，灵活运用.

黎：心中有公式，手下当无碍.还有别的途径吗？从几何背景考虑下.

生18：可以把a当做不变量，那么前一个方程表示直线，后一个方程表示圆，这样可以联立方程组通过消元后用Δ≥0即可解决.

黎:不错！既然是直线和圆的位置关系的判断，还能优化处理吗？

生19：可以用圆心到直线的距离和半径作比较，即d≤r.

黎：非常好！这样更简洁，更能体现以形助数的解析味.

设计价值评析：生态课堂观下学生是思维活动的主体，教师充当设计者和引领者，通过过分组探究、代表展示、深度对话的形式培养学生思维的灵活性和深刻性，通过变式训练让学生自主积淀策略模块并辩证比较，理性选择，激发学生思维的批判性.

黎：《礼记·中庸》有云：“博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之.”这说的是为学的几个层次，我们学习数学亦当如此.希望同学们循序渐进，习得有价值的数学，自育生命成长之慧根.

设计价值评析：通过吟诵励志语，唤起师生感悟文化的共鸣，彰显了数学教育的人文价值.同时，为学之境切合学习进阶理论的演进规律，无意中形成融通之势，可谓无心插柳柳成荫.

2.学习进阶视域下的智学课堂呈现怎样的教学生态？

高三二轮的微专题设计要体现“因微而准、因微而细、因微而深、因微而精.”立足学情，定点突破，说有价值的数学，引可迁移的思维.实施过程中应明确以下要素.

(1)科学选择定位适切

微专题源于高考的重点、热点问题和学生的疑点、难点问题，选择蕴含方法思想典型题目作为思维载体，注重例题、变式、练习间的层次性和关联性，让学生自主建构解决一类问题的思维导图.当然，二轮复习内容有一定难度，所以不同生源的学校、不同组合的班级、不同层次的学生选择的微专题数目和深度应有所差异，必须遵循让学生“跳一跳够得到”的原则，立足让不同的学生得到不同的发展.

(2)凸显主体活动引智

学生和教师的思维落差是客观存在的，倘若教师主观臆断，越俎代庖，过多干扰学生的个性化思维活动，那么学生必将收获甚微，兴趣索然.因此，让学生获得课堂的话语权和活动权，凸显其主体地位，显得至关重要.首先，先练后讲.让学生板演示错，师生共同纠错；让学生展示多种解法，师生共同评价.这样增强学生的思辨意识.其次，分组讨论，集中展示.让学生在讨论和展示中激发思维火花，分享成功经验，汲取失误教训，形成思维固着.教师可通过元认知提问、适度点拨、稚化自我等方式，帮助学生突破思维瓶颈，强化思路拓展，促进深度学习.

(3)自主整理优化结构

二轮复习的课堂容量和思维深度对学生而言都是极大的挑战，因此，为学生留白，让学生内化也是必不可少的.首先，确保自主整理的时间.每节课结束前，可留十到十五分钟，让学生画思维导图，自主总结；每周安排二到三节反思课，让学生消化反思.其次，引导学生系统化整理.对于错题要按知识点、方法、思想等线索归类，提醒学生自己提炼解题方法和规律，从而完善和优化自己的思维结构.最后，创造让学生展示整理成果的机会.比如，让学生编题、说题，调动学生执行整理工作的积极性.