一道高考题的多角度研究

江苏省扬州中学 (225009)

王 晨 戚有建

很多高考题看起来很平常，实际上却丰富多彩，都是专家经过精心思考编制出来的，所以有很大的教学价值和研究空间.本文从一道高考解几题出发，首先对问题进行了推广研究、类比研究，然后研究问题的背景，最后研究背景的应用.

一、考题展示

图1

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交曲线C于点G，证明：ΔPQG是直角三角形.

点评：本题是2019年全国卷Ⅱ理科数学的21题、是选拔题，与2011年江苏卷18题相似度很高.第(1)问考查轨迹方程，用直译法处理即可，注意椭圆不含左右顶点；第(2)问考查用方程来研究曲线的性质，即用代数方法(坐标法)来研究几何问题(垂直问题).本题看起来很平凡，实际上却平而不凡，有很大的研究价值，我们重点研究第(2)问.

二、解法研究

解法2以点P,G的坐标x1，y1,x2，y2为参数，通过代数运算(坐标运算)来解决几何问题(垂直问题)，借助点差法、设而不求，充分体现了解析几何的基本思想，但由于解题过程中涉及四个参数x1，y1,x2，y2，所以消参时有一定困难，对代数变形的要求较高.

三、推广研究

图2

四、类比研究

将命题1类比到双曲线中，可得下面命题：

五、背景研究

图3

六、相关推论

实际上从命题3出发可以得到很多推论：

图4

七、背景应用

图5